VIII.6. Anneaux de polynômes
Si f = 0, on définit le degré de f , noté deg(f ), comme étant le plus grand
entier n tel que, dans l’expression f =
a i X i , a n soit non nul. Le coefficient
a n est alors appelé le coefficient dominant de f . Le coefficient a 0 est appelé
coefficient constant de f . Un polynôme non nul de degré n est dit unitaire si
son coefficient dominant est égal à 1.
Si f = 0, par convention, on pose deg(f ) = −∞.
On note A[X] l’anneau P 1 (A). On remarquera que les opérations définies
ci-dessus dans P n (A), correspondent, dans le cas n = 1, à l’addition et à la
multiplication usuelles des polynômes.
VIII.6.2. Cas n 2
On considère les n-uples suivants :
i 1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , i j = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), . . . , i n = (0, . . . , 0, 1),
où dans i j = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) le 1 est à la j ème place, et on définit X k ∈ P n (A),
1 k n, par
X k (i) =
1 si i = i k
0 si i = i k .
On pose X 0
k égal à l’élément unité de P n (A), quel que soit k.
Pour tout a ∈ A et tout i = (i 1 , . . . , i n ), d’après la définition de la multiplication dans P n (A), l’élément a X
i 1
1 . . . X in
n de P n (A) vérifie
a X
i 1
1 . . . X
in
n (j) =
a si j = i
0 si j = i
(vérification par récurrence sur |i| = i 1 + . . . + i n ). Un tel élément est appelé un
monôme et, s’il n’est pas nul (i.e. si a = 0), son degré est |i| = i 1 + . . . + i n .
Par conséquent, en posant f (i) = a i , chaque élément de P n (A) s’écrit alors de
façon unique sous forme d’une somme finie de monômes distincts
f =
i
a i X
i 1
1 . . . X
in
n ,
avec i = (i 1 , . . . , i n ). Une telle expression est appelée polynôme en les n indéterminées X 1 , . . . , X n , les a i sont les coefficients de ce polynôme, a 0 est le
coefficient constant. Le degré total, noté deg(f ), du polynôme f = 0 est le
sup des |i| = i 1 + . . . + i n tel que a i soit non nul. Par convention, si f = 0, on
pose deg(f ) = −∞.
On note l’anneau P n (A) sous la forme A[X 1 , . . . , X n ].
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Si f = 0, on définit le degré de f , noté deg(f ), comme étant le plus grand
entier n tel que, dans l’expression f =
a i X i , a n soit non nul. Le coefficient
a n est alors appelé le coefficient dominant de f . Le coefficient a 0 est appelé
coefficient constant de f . Un polynôme non nul de degré n est dit unitaire si
son coefficient dominant est égal à 1.
Si f = 0, par convention, on pose deg(f ) = −∞.
On note A[X] l’anneau P 1 (A). On remarquera que les opérations définies
ci-dessus dans P n (A), correspondent, dans le cas n = 1, à l’addition et à la
multiplication usuelles des polynômes.
VIII.6.2. Cas n 2
On considère les n-uples suivants :
i 1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , i j = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), . . . , i n = (0, . . . , 0, 1),
où dans i j = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) le 1 est à la j ème place, et on définit X k ∈ P n (A),
1 k n, par
X k (i) =
1 si i = i k
0 si i = i k .
On pose X 0
k égal à l’élément unité de P n (A), quel que soit k.
Pour tout a ∈ A et tout i = (i 1 , . . . , i n ), d’après la définition de la multiplication dans P n (A), l’élément a X
i 1
1 . . . X in
n de P n (A) vérifie
a X
i 1
1 . . . X
in
n (j) =
a si j = i
0 si j = i
(vérification par récurrence sur |i| = i 1 + . . . + i n ). Un tel élément est appelé un
monôme et, s’il n’est pas nul (i.e. si a = 0), son degré est |i| = i 1 + . . . + i n .
Par conséquent, en posant f (i) = a i , chaque élément de P n (A) s’écrit alors de
façon unique sous forme d’une somme finie de monômes distincts
f =
i
a i X
i 1
1 . . . X
in
n ,
avec i = (i 1 , . . . , i n ). Une telle expression est appelée polynôme en les n indéterminées X 1 , . . . , X n , les a i sont les coefficients de ce polynôme, a 0 est le
coefficient constant. Le degré total, noté deg(f ), du polynôme f = 0 est le
sup des |i| = i 1 + . . . + i n tel que a i soit non nul. Par convention, si f = 0, on
pose deg(f ) = −∞.
On note l’anneau P n (A) sous la forme A[X 1 , . . . , X n ].
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