Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
Exercice VIII.13.
1. Vérifier que ces opérations munissent P n (A) d’une structure d’anneau commutatif, dont l’élément unité est l’application définie par
i −→ 0 si i = 0
0 −→ 1.
2. Montrer que l’application A −→ P n (A), définie par a −→ f a , avec f a (0) = a
et f a (i) = 0 si i = 0, est un morphisme injectif d’anneaux.
Dans la suite, on identifiera, par ce morphisme, le sous-anneau {f a } a∈A de
P n (A) à l’anneau A.
VIII.6.1. Cas n = 1
Les éléments de N seront notés i (et non pas i). On note X l’application
N → A définie par X(1) = 1 et X(i) = 0 si i = 1. D’après la définition de la
multiplication dans P 1 (A), on a
X
2 (i) =
j+k=i
X(j)X(k) =
0 si i = 2
1 si i = 2
et
∀s ∈ N, s 1,
X
s (i) =
0 si i = s
1 si i = s.
On pose X 0 = f 1 , i.e. X 0 (i) = 0 si i = 0 et X 0 (0) = 1.
Pour tout élément a = 0 ∈ A et tout entier s de N, l’application aX s définie par
aX
s (i) =
0 si i = s
a si i = s
est appelée monôme de coefficient a ; s est le degré de a X s .
Par conséquent, en posant, pour tout i ∈ N, f (i) = a i , tout élément f de
P 1 (A) admet une écriture unique
f =
n
i=0
a i X
i ,
avec n = sup{i ∈ N | f (i) = 0}. On dit que f est un polynôme en X.
Les a i sont les coefficients de f et a i = 0 pour tout i si et seulement si
f = f 0 = 0.
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