VIII.6. Anneaux de polynômes
Théorème VIII.5.1. Les opérations ci-dessus sont bien définies et munissent l’ensemble quotient (A × S)/R d’une structure de corps, qu’on notera F (A). L’application a → a/1 est un morphisme injectif d’anneaux de A dans F (A).
Exemples VIII.5.1.
a) Si A = Z, F (A) = Q.
b) Si A = R[X], F (A) est le corps des fractions rationnelles en X à coefficients
dans R. Plus généralement, si A est un anneau intègre, F (A[X]) = F (A)(X), le
corps des fractions rationnelles à coefficients dans le corps F (A).
L’exercice ci-dessous montre que le corps des fractions d’un anneau intègre est
solution d’un problème universel. Ceci montre l’unicité (à isomorphisme unique
près) du corps construit ci-dessus et permet, en particulier, de vérifier si un corps
donné est le corps des fractions d’un anneau intègre donné.
Exercice VIII.12. (¶). Soit A un anneau intègre ; montrer qu’un corps K est isomorphe au corps des fractions de A si et seulement s’il existe un morphisme injectif
d’anneaux ϕ : A −→ K et si, pour tout corps L et tout morphisme injectif d’anneaux σ : A −→ L, il existe un unique morphisme (injectif) de corps ψ : K −→ L
tel que σ = ψ ◦ ϕ.
VIII.6. Anneaux de polynômes
Soit n un entier strictement positif. On note i = (i 1 , . . . , i n ) les éléments de
N n et, pour deux éléments i = (i 1 , . . . , i n ) et j = (j 1 , . . . , j n ) de N n , on pose
i + j = (i 1 + j 1 , . . . , i n + j n ). On remarquera que l’élément 0 = (0, . . . , 0) est un
élément neutre pour cette loi.
Soit A un anneau commutatif. On note P n (A) l’ensemble des applications
f : N n → A telles que f (i) = 0 sauf pour un nombre fini de i ∈ N n . On définit
sur P n (A) deux opérations en posant : quels que soient f, g ∈ P n (A)
f + g : N n −→
A
i →
f (i) + g(i)
h = f g : N n −→
A
i → h(i) =
j+k=i f (j)g(k).
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Théorème VIII.5.1. Les opérations ci-dessus sont bien définies et munissent l’ensemble quotient (A × S)/R d’une structure de corps, qu’on notera F (A). L’application a → a/1 est un morphisme injectif d’anneaux de A dans F (A).
Exemples VIII.5.1.
a) Si A = Z, F (A) = Q.
b) Si A = R[X], F (A) est le corps des fractions rationnelles en X à coefficients
dans R. Plus généralement, si A est un anneau intègre, F (A[X]) = F (A)(X), le
corps des fractions rationnelles à coefficients dans le corps F (A).
L’exercice ci-dessous montre que le corps des fractions d’un anneau intègre est
solution d’un problème universel. Ceci montre l’unicité (à isomorphisme unique
près) du corps construit ci-dessus et permet, en particulier, de vérifier si un corps
donné est le corps des fractions d’un anneau intègre donné.
Exercice VIII.12. (¶). Soit A un anneau intègre ; montrer qu’un corps K est isomorphe au corps des fractions de A si et seulement s’il existe un morphisme injectif
d’anneaux ϕ : A −→ K et si, pour tout corps L et tout morphisme injectif d’anneaux σ : A −→ L, il existe un unique morphisme (injectif) de corps ψ : K −→ L
tel que σ = ψ ◦ ϕ.
VIII.6. Anneaux de polynômes
Soit n un entier strictement positif. On note i = (i 1 , . . . , i n ) les éléments de
N n et, pour deux éléments i = (i 1 , . . . , i n ) et j = (j 1 , . . . , j n ) de N n , on pose
i + j = (i 1 + j 1 , . . . , i n + j n ). On remarquera que l’élément 0 = (0, . . . , 0) est un
élément neutre pour cette loi.
Soit A un anneau commutatif. On note P n (A) l’ensemble des applications
f : N n → A telles que f (i) = 0 sauf pour un nombre fini de i ∈ N n . On définit
sur P n (A) deux opérations en posant : quels que soient f, g ∈ P n (A)
f + g : N n −→
A
i →
f (i) + g(i)
h = f g : N n −→
A
i → h(i) =
j+k=i f (j)g(k).
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