Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
(i) Soient x 1 , . . . , x n des éléments de A, alors il existe un élément x de A tel
que x ≡ x i (mod a i ), i = 1, ..., n.
(ii) Les projections canoniques π i : A → A/a i , i = 1, . . . , n, induisent un
isomorphisme d’anneaux
A/
n
i=1
a i
→
n
i=1
(A/a i ).
Exercice VIII.11.
a) Montrer que si p et q sont des entiers positifs, pZ∩qZ = pqZ si et seulement
si p et q sont premiers entre eux.
Montrer que les anneaux Z/pZ × Z/qZ et Z/pqZ sont isomorphes si et seulement si p et q sont premiers entres eux.
b) Généraliser cette dernière assertion en montrant que les anneaux
Z/p 1 Z × . . . × Z/p k Z et Z/p 1 . . . p k Z
sont isomorphes si et seulement si les entiers p i , 1 i k, sont premiers entre
eux deux à deux.
c) Montrer que pour tout nombre n ∈ N ∗ dont la décomposition en facteurs
premiers est n = p
s 1
1 . . . p
s k
k , l’anneau Z/nZ est canoniquement isomorphe à l’anneau Z/p
s 1
1 Z × . . . × Z/p
s k
k Z.
VIII.5. Corps des fractions d’un anneau intègre
Le but de ce paragraphe est d’associer, à tout anneau intègre A, un corps
F (A) et un morphisme injectif d’anneaux A → F (A). Ceci entraîne que tout
anneau intègre peut être identifié à un sous-anneau d’un corps. Le corps F (A) est
construit à partir de l’anneau A comme Q est construit à partir de Z. Ce corps
s’appelle le corps des fractions de l’anneau A.
Soit A un anneau intègre. On pose S = A \ {0} et on définit sur l’ensemble
A × S une relation d’équivalence par
[(a, s) R (a
, s
)] ⇐⇒ [s
a − sa
= 0]
On note a/s la classe d’équivalence du couple (a, s). On définit sur l’ensemble
quotient (A × S)/R une addition et une multiplication par
a/s + a
/s
= (s
a + sa
)/ss
(a/s)(a
/s
) = aa
/ss
où les opérations apparaissant dans les seconds membres sont celles de A.
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(i) Soient x 1 , . . . , x n des éléments de A, alors il existe un élément x de A tel
que x ≡ x i (mod a i ), i = 1, ..., n.
(ii) Les projections canoniques π i : A → A/a i , i = 1, . . . , n, induisent un
isomorphisme d’anneaux
A/
n
i=1
a i
→
n
i=1
(A/a i ).
Exercice VIII.11.
a) Montrer que si p et q sont des entiers positifs, pZ∩qZ = pqZ si et seulement
si p et q sont premiers entre eux.
Montrer que les anneaux Z/pZ × Z/qZ et Z/pqZ sont isomorphes si et seulement si p et q sont premiers entres eux.
b) Généraliser cette dernière assertion en montrant que les anneaux
Z/p 1 Z × . . . × Z/p k Z et Z/p 1 . . . p k Z
sont isomorphes si et seulement si les entiers p i , 1 i k, sont premiers entre
eux deux à deux.
c) Montrer que pour tout nombre n ∈ N ∗ dont la décomposition en facteurs
premiers est n = p
s 1
1 . . . p
s k
k , l’anneau Z/nZ est canoniquement isomorphe à l’anneau Z/p
s 1
1 Z × . . . × Z/p
s k
k Z.
VIII.5. Corps des fractions d’un anneau intègre
Le but de ce paragraphe est d’associer, à tout anneau intègre A, un corps
F (A) et un morphisme injectif d’anneaux A → F (A). Ceci entraîne que tout
anneau intègre peut être identifié à un sous-anneau d’un corps. Le corps F (A) est
construit à partir de l’anneau A comme Q est construit à partir de Z. Ce corps
s’appelle le corps des fractions de l’anneau A.
Soit A un anneau intègre. On pose S = A \ {0} et on définit sur l’ensemble
A × S une relation d’équivalence par
[(a, s) R (a
, s
)] ⇐⇒ [s
a − sa
= 0]
On note a/s la classe d’équivalence du couple (a, s). On définit sur l’ensemble
quotient (A × S)/R une addition et une multiplication par
a/s + a
/s
= (s
a + sa
)/ss
(a/s)(a
/s
) = aa
/ss
où les opérations apparaissant dans les seconds membres sont celles de A.
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