VIII.4. Produit d’anneaux - Théorème chinois
Proposition - Définition VIII.4.1. L’ensemble
i∈I
A i , muni de l’addition composante
par composante et de la multiplication composante par composante, est un anneau
dont l’élément neutre (pour l’addition) est la famille formée des éléments neutres
des A i , i ∈ I, et l’élément unité est la famille formée des éléments unités des A i ,
i ∈ I. Cet anneau est appelé le produit des anneaux A i , i ∈ I.
Les axiomes d’anneau sont vérifiés pour
i∈I
A i car ils sont vérifiés pour chaque
composante.
Théorème VIII.4.1 (propriété universelle du produit d’anneaux).
Soient {A i } i∈I une famille non vide d’anneaux et p i , i ∈ I, les projections
canoniques de
i∈I
A i sur A i , i ∈ I. Pour tout anneau B et tout morphisme d’anneaux f i : B → A i , i ∈ I, il existe un unique morphisme d’anneaux h : B →
i∈I
A i
tel que p i ◦ h = f i , i ∈ I.
Définition VIII.4.1. Deux idéaux I et J d’un anneau A sont étrangers si
I + J = A.
Proposition VIII.4.2. Soient A un anneau, I et J deux idéaux de A.
(i) L’anneau A/(I ∩ J) est isomorphe à un sous-anneau de A/I × A/J.
(ii) Si les idéaux I et J sont étrangers, alors :
IJ = I ∩ J
et
∀a ∈ A, ∀b ∈ A, ∃ x ∈ A tel que x ≡ a (mod I) et x ≡ b (mod J).
(iii) Si les idéaux I et J sont étrangers, alors les anneaux A/IJ et A/I × A/J
sont isomorphes.
Plus généralement, on a le résultat suivant :
Théorème VIII.4.2 (le théorème chinois). Soient A un anneau et a 1 , . . . , a n des
idéaux de A tels que a i + a j = A pour tout i = j.
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