Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
Définition VIII.3.3. Un idéal propre m d’un anneau A, est dit maximal s’il
vérifie les conditions de la proposition (VIII.3.2).
Proposition VIII.3.3. Soit A un anneau, un idéal propre m de A est maximal si et
seulement si l’anneau A/m est un corps.
Proposition VIII.3.4. Un idéal maximal est premier.
Attention. La réciproque est fausse. (Considérer, par exemple, l’idéal engendré
par X dans l’anneau de polynômes Z[X].)
Théorème VIII.3.1. Soit A un anneau, tout idéal I de A est contenu dans un idéal
maximal de A.
Exercice VIII.10.
1. Montrer qu’un idéal (p) de Z est maximal (resp. premier) si et seulement si
p est un nombre premier (resp. nul ou premier). (On remarquera donc que dans
l’anneau Z un idéal non nul est maximal si et seulement s’il est premier. Ceci est
une propriété générale des anneaux principaux qui sera étudiée au paragraphe 7.)
2. Déduire de ce qui précède que l’anneau Z/pZ est un corps si et seulement
si c’est un anneau intègre.
Ceci est vrai de façon plus générale pour les anneaux finis, comme le montre
la question suivante.
3. Soit A un anneau fini intègre.
a) Montrer que pour tout élément a ∈ A, a = 0, les applications δ a : x → xa
et γ a : x → ax sont des automorphismes du groupe (A, +).
b) En déduire qu’un anneau fini est un corps si et seulement s’il est intègre.
(On pourra remarquer que, si l’on suppose que A est un ensemble fini muni
de deux lois satisfaisant les axiomes définissant un anneau, sauf celui concernant
l’existence d’un élément unité, l’assertion a) ci-dessus est encore vraie et qu’elle
entraîne l’existence de l’élément unité.)
VIII.4. Produit d’anneaux - Théorème chinois
Soient {A i } i∈I une famille non vide d’anneaux : on note
i∈I
A i l’ensemble des
éléments (a i ) i∈I où, pour tout i ∈ I, a i ∈ A i .
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Définition VIII.3.3. Un idéal propre m d’un anneau A, est dit maximal s’il
vérifie les conditions de la proposition (VIII.3.2).
Proposition VIII.3.3. Soit A un anneau, un idéal propre m de A est maximal si et
seulement si l’anneau A/m est un corps.
Proposition VIII.3.4. Un idéal maximal est premier.
Attention. La réciproque est fausse. (Considérer, par exemple, l’idéal engendré
par X dans l’anneau de polynômes Z[X].)
Théorème VIII.3.1. Soit A un anneau, tout idéal I de A est contenu dans un idéal
maximal de A.
Exercice VIII.10.
1. Montrer qu’un idéal (p) de Z est maximal (resp. premier) si et seulement si
p est un nombre premier (resp. nul ou premier). (On remarquera donc que dans
l’anneau Z un idéal non nul est maximal si et seulement s’il est premier. Ceci est
une propriété générale des anneaux principaux qui sera étudiée au paragraphe 7.)
2. Déduire de ce qui précède que l’anneau Z/pZ est un corps si et seulement
si c’est un anneau intègre.
Ceci est vrai de façon plus générale pour les anneaux finis, comme le montre
la question suivante.
3. Soit A un anneau fini intègre.
a) Montrer que pour tout élément a ∈ A, a = 0, les applications δ a : x → xa
et γ a : x → ax sont des automorphismes du groupe (A, +).
b) En déduire qu’un anneau fini est un corps si et seulement s’il est intègre.
(On pourra remarquer que, si l’on suppose que A est un ensemble fini muni
de deux lois satisfaisant les axiomes définissant un anneau, sauf celui concernant
l’existence d’un élément unité, l’assertion a) ci-dessus est encore vraie et qu’elle
entraîne l’existence de l’élément unité.)
VIII.4. Produit d’anneaux - Théorème chinois
Soient {A i } i∈I une famille non vide d’anneaux : on note
i∈I
A i l’ensemble des
éléments (a i ) i∈I où, pour tout i ∈ I, a i ∈ A i .
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