VIII.3. Idéaux maximaux, idéaux premiers
Exercice VIII.9.
1. Soit p un nombre premier. Déterminer tous les diviseurs de zéro de l’anneau
Z/p 2 Z.
2. Montrer que pour tout n 2 et pour tout corps commutatif k, l’anneau
M n (k) n’est pas intègre.
3. Montrer que si X est un ensemble tel que card(X) > 1, l’anneau F(X, A)
défini à l’exercice VIII.1.1 n’est pas intègre.
4. Un élément a d’un anneau A est nilpotent s’il existe un entier n > 0 tel
que a n = 0.
a) Montrer que dans M n (k), n 2, il existe des éléments nilpotents.
b) Soient a et b des éléments d’un anneau A. Montrer que si ab est nilpotent,
alors ba l’est aussi.
c) Montrer que si ab = ba et si a et b sont nilpotents, alors ab et a + b sont
nilpotents.
Remarque VIII.3.1. Il est clair qu’un sous-anneau d’un anneau intègre est intègre.
Ce n’est pas le cas pour le quotient par un idéal, comme on le voit facilement avec
Z/4Z par exemple.
On va dégager une notion d’idéal telle que l’intégrité de l’anneau soit conservée
par passage au quotient par les idéaux de ce type.
Proposition VIII.3.1. Soient A un anneau et p = A un idéal de A. Les assertions
suivantes sont équivalentes :
(i) L’anneau A/p est intègre
(ii) Pour tous a et b éléments de A, on a [ab ∈ p] ⇒ [a ∈ p ou b ∈ p].
Définition VIII.3.2. Soit A un anneau, un idéal de A, distinct de A, est dit
premier s’il vérifie les assertions de la proposition (VIII.3.1).
Remarque VIII.3.2. L’idéal (0) d’un anneau A est premier si et seulement si A est
intègre.
Proposition VIII.3.2. Soient A un anneau et m un idéal propre de A. Les assertions
suivantes sont équivalentes :
(i) Si I est un idéal de A tel que m ⊆ I ⊆ A alors I = m ou I = A
(ii) Si a est un élément de A qui n’appartient pas à m, l’idéal engendré par
m ∪ {a} est égal à A.
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Exercice VIII.9.
1. Soit p un nombre premier. Déterminer tous les diviseurs de zéro de l’anneau
Z/p 2 Z.
2. Montrer que pour tout n 2 et pour tout corps commutatif k, l’anneau
M n (k) n’est pas intègre.
3. Montrer que si X est un ensemble tel que card(X) > 1, l’anneau F(X, A)
défini à l’exercice VIII.1.1 n’est pas intègre.
4. Un élément a d’un anneau A est nilpotent s’il existe un entier n > 0 tel
que a n = 0.
a) Montrer que dans M n (k), n 2, il existe des éléments nilpotents.
b) Soient a et b des éléments d’un anneau A. Montrer que si ab est nilpotent,
alors ba l’est aussi.
c) Montrer que si ab = ba et si a et b sont nilpotents, alors ab et a + b sont
nilpotents.
Remarque VIII.3.1. Il est clair qu’un sous-anneau d’un anneau intègre est intègre.
Ce n’est pas le cas pour le quotient par un idéal, comme on le voit facilement avec
Z/4Z par exemple.
On va dégager une notion d’idéal telle que l’intégrité de l’anneau soit conservée
par passage au quotient par les idéaux de ce type.
Proposition VIII.3.1. Soient A un anneau et p = A un idéal de A. Les assertions
suivantes sont équivalentes :
(i) L’anneau A/p est intègre
(ii) Pour tous a et b éléments de A, on a [ab ∈ p] ⇒ [a ∈ p ou b ∈ p].
Définition VIII.3.2. Soit A un anneau, un idéal de A, distinct de A, est dit
premier s’il vérifie les assertions de la proposition (VIII.3.1).
Remarque VIII.3.2. L’idéal (0) d’un anneau A est premier si et seulement si A est
intègre.
Proposition VIII.3.2. Soient A un anneau et m un idéal propre de A. Les assertions
suivantes sont équivalentes :
(i) Si I est un idéal de A tel que m ⊆ I ⊆ A alors I = m ou I = A
(ii) Si a est un élément de A qui n’appartient pas à m, l’idéal engendré par
m ∪ {a} est égal à A.
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