Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
Définition VIII.2.4. Soient A un anneau, a et b deux éléments de A. On dit que
a divise b, ou que a est un diviseur de b, et on écrit a|b, s’il existe un élément
c ∈ A tel que b = ac.
Dans cette situation, on considère les ideaux (a) et (b) de A, engendrés par
a et b respectivement. Tout élément de (b) s’écrivant xb, avec x ∈ A, s’écrit xac,
donc appartient à (a). On en déduit donc que
[a|b] =⇒ [(a) ⊃ (b)] ⇐⇒ [b ∈ (a)].
Réciproquement, soient a et b deux éléments d’un anneau commutatif A et (a), (b)
les idéaux qu’ils engendrent. Si (a) ⊃ (b), alors b ∈ (a), i.e. il existe c ∈ A tel que
b = ac, i.e. a divise b.
On voit donc que la divisibilité des éléments dans un anneau se traduit par
l’inclusion des idéaux qu’ils engendrent. On peut remarquer, d’après la définition
du produit de deux idéaux, que si I et J sont des idéaux d’un anneau A, on a
I ⊃ IJ, ce qui correspond bien à l’idée naturelle que I divise le produit IJ.
On sait que dans l’anneau Z les nombres premiers jouent un rôle capital,
puisque tout nombre entier se décompose de manière unique (à l’ordre près des
facteurs) en un produit de nombres premiers. Le parallèle entre divisibilité des
éléments et inclusion d’idéaux évoqué ci dessus, nous conduit à introduire la notion
d’idéal premier (et d’idéal maximal), qui joue dans les anneaux principaux (et dans
des anneaux plus généraux), relativement aux idéaux, un rôle analogue à celui des
nombres premiers, relativement aux nombres entiers.
VIII.3. Idéaux maximaux, idéaux premiers
Définition VIII.3.1. Un anneau A non nul est intègre si
∀ a ∈ A, ∀ b ∈ A, [ab = 0] ⇒ [a = 0 ou b = 0].
Si l’anneau A n’est pas intègre, des éléments non nuls a et b tels que ab = 0
sont appelés des diviseurs de zéro.
Exemple VIII.3.1. L’anneau Z est intègre. Tout corps est intègre. L’anneau M 2 (R)
n’est pas intègre.
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Définition VIII.2.4. Soient A un anneau, a et b deux éléments de A. On dit que
a divise b, ou que a est un diviseur de b, et on écrit a|b, s’il existe un élément
c ∈ A tel que b = ac.
Dans cette situation, on considère les ideaux (a) et (b) de A, engendrés par
a et b respectivement. Tout élément de (b) s’écrivant xb, avec x ∈ A, s’écrit xac,
donc appartient à (a). On en déduit donc que
[a|b] =⇒ [(a) ⊃ (b)] ⇐⇒ [b ∈ (a)].
Réciproquement, soient a et b deux éléments d’un anneau commutatif A et (a), (b)
les idéaux qu’ils engendrent. Si (a) ⊃ (b), alors b ∈ (a), i.e. il existe c ∈ A tel que
b = ac, i.e. a divise b.
On voit donc que la divisibilité des éléments dans un anneau se traduit par
l’inclusion des idéaux qu’ils engendrent. On peut remarquer, d’après la définition
du produit de deux idéaux, que si I et J sont des idéaux d’un anneau A, on a
I ⊃ IJ, ce qui correspond bien à l’idée naturelle que I divise le produit IJ.
On sait que dans l’anneau Z les nombres premiers jouent un rôle capital,
puisque tout nombre entier se décompose de manière unique (à l’ordre près des
facteurs) en un produit de nombres premiers. Le parallèle entre divisibilité des
éléments et inclusion d’idéaux évoqué ci dessus, nous conduit à introduire la notion
d’idéal premier (et d’idéal maximal), qui joue dans les anneaux principaux (et dans
des anneaux plus généraux), relativement aux idéaux, un rôle analogue à celui des
nombres premiers, relativement aux nombres entiers.
VIII.3. Idéaux maximaux, idéaux premiers
Définition VIII.3.1. Un anneau A non nul est intègre si
∀ a ∈ A, ∀ b ∈ A, [ab = 0] ⇒ [a = 0 ou b = 0].
Si l’anneau A n’est pas intègre, des éléments non nuls a et b tels que ab = 0
sont appelés des diviseurs de zéro.
Exemple VIII.3.1. L’anneau Z est intègre. Tout corps est intègre. L’anneau M 2 (R)
n’est pas intègre.
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