VIII.2. Idéaux – Morphismes
Proposition VIII.2.6. Soit f : A → B un morphisme d’anneaux.
(i) Le noyau de f , Ker(f ) = {x ∈ A | f (x) = 0}, est un idéal de A et l’image
de f , Im(f ), est un sous-anneau de B.
(ii) Si J est un idéal de B, alors I = f −1 (J) est un idéal de A.
(iii) Le morphisme f est un isomorphisme si et seulement si c’est un morphisme bijectif.
Exercice VIII.7.
1. Déterminer tous les morphismes d’anneaux de Z dans Z, de Q dans Z, de
R dans Q. (On remarquera que la condition f (1) = 1 est très contraignante et
diminue fortement le nombre de morphismes possibles entre deux anneaux.)
2. Soit f : A → B un morphisme d’anneaux. Montrer que f (U(A)) ⊆ U(B).
3. Montrer qu’un morphisme de corps est toujours injectif.
Théorème VIII.2.2 (de passage au quotient).
(i) Soient A et B deux anneaux, I (resp. J) un idéal de A (resp. B),
π : A → A/I (resp. π : B → B/J) la projection canonique. Pour tout morphisme
d’anneaux f : A → B tel que f (I) ⊆ J, il existe un unique f de A/I dans A/J
tel que f ◦ π = π ◦ f .
(ii) Soit f : A → B un morphisme d’anneaux, alors les anneaux Im(f ) et
A/Ker(f ) sont canoniquement isomorphes.
Théorème VIII.2.3. Soient f : A → B un morphisme surjectif d’anneaux et
K = Ker(f ).
(i) Il existe une correspondance biunivoque entre les idéaux I de A qui
contiennent K et les idéaux de B.
(ii) Si I ⊆ A (K ⊆ I) et J ⊆ B sont des idéaux qui se correspondent par cette
bijection, alors
A/I B/J (A/K)/(I/K).
Remarque VIII.2.2. Si A est un anneau et I un idéal de A, la proposition précédente, appliquée à la projection A → A/I, montre qu’il y a une correspondance
biunivoque entre les idéaux de l’anneau A/I et les idéaux de A qui contiennent I.
Exercice VIII.8. Montrer que les idéaux de l’anneau Z/nZ correspondent aux
nombres entiers positifs qui divisent n.
Les exercices VIII.6 et VIII.8 montrent qu’il y a une relation étroite entre
nombres et idéaux. Nous pouvons expliciter maintenant l’interprétation de la divisibilité des nombres en termes d’idéaux.
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Proposition VIII.2.6. Soit f : A → B un morphisme d’anneaux.
(i) Le noyau de f , Ker(f ) = {x ∈ A | f (x) = 0}, est un idéal de A et l’image
de f , Im(f ), est un sous-anneau de B.
(ii) Si J est un idéal de B, alors I = f −1 (J) est un idéal de A.
(iii) Le morphisme f est un isomorphisme si et seulement si c’est un morphisme bijectif.
Exercice VIII.7.
1. Déterminer tous les morphismes d’anneaux de Z dans Z, de Q dans Z, de
R dans Q. (On remarquera que la condition f (1) = 1 est très contraignante et
diminue fortement le nombre de morphismes possibles entre deux anneaux.)
2. Soit f : A → B un morphisme d’anneaux. Montrer que f (U(A)) ⊆ U(B).
3. Montrer qu’un morphisme de corps est toujours injectif.
Théorème VIII.2.2 (de passage au quotient).
(i) Soient A et B deux anneaux, I (resp. J) un idéal de A (resp. B),
π : A → A/I (resp. π : B → B/J) la projection canonique. Pour tout morphisme
d’anneaux f : A → B tel que f (I) ⊆ J, il existe un unique f de A/I dans A/J
tel que f ◦ π = π ◦ f .
(ii) Soit f : A → B un morphisme d’anneaux, alors les anneaux Im(f ) et
A/Ker(f ) sont canoniquement isomorphes.
Théorème VIII.2.3. Soient f : A → B un morphisme surjectif d’anneaux et
K = Ker(f ).
(i) Il existe une correspondance biunivoque entre les idéaux I de A qui
contiennent K et les idéaux de B.
(ii) Si I ⊆ A (K ⊆ I) et J ⊆ B sont des idéaux qui se correspondent par cette
bijection, alors
A/I B/J (A/K)/(I/K).
Remarque VIII.2.2. Si A est un anneau et I un idéal de A, la proposition précédente, appliquée à la projection A → A/I, montre qu’il y a une correspondance
biunivoque entre les idéaux de l’anneau A/I et les idéaux de A qui contiennent I.
Exercice VIII.8. Montrer que les idéaux de l’anneau Z/nZ correspondent aux
nombres entiers positifs qui divisent n.
Les exercices VIII.6 et VIII.8 montrent qu’il y a une relation étroite entre
nombres et idéaux. Nous pouvons expliciter maintenant l’interprétation de la divisibilité des nombres en termes d’idéaux.
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