Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
Proposition VIII.2.3. Soient A un anneau et S une partie de A. L’idéal de A engendré par S est formé des éléments de A s’écrivant
finie
a i s i , a i ∈ A, s i ∈ S.
Notation : Si la partie S est réduite à un élément, S = {a}, on note (a) l’idéal
engendré par a.
Définition VIII.2.2. Un idéal I d’un anneau A est dit propre si I = {0} et
I = A.
Proposition VIII.2.4. Un anneau commutatif A est un corps si et seulement s’il ne
possède aucun idéal propre.
Attention. Le résultat précédent est faux si l’anneau A est non commutatif.
(Considérer un anneau de matrices.) Plus précisément, un corps ne possède pas
d’idéaux propres ; l’hypothèse de commutativité de l’anneau est nécessaire pour
démontrer l’implication dans l’autre sens.
Exercice VIII.6. Montrer que les idéaux de l’anneau Z sont les (n) pour n parcourant N. (On utilisera la division euclidienne dans Z.)
Définition VIII.2.3. Soient A et B deux anneaux (resp. corps). Un morphisme
d’anneaux (resp. de corps) de A dans B est une application f : A → B
vérifiant
∀ (x, y) ∈ A × A, f (x + y) = f (x) + f (y)
∀ (x, y) ∈ A × A, f (x.y) = f (x).f (y)
f (1 A ) = 1 B .
Un morphisme d’anneaux (resp. corps) f : A → B est un isomorphisme d’anneaux (resp. corps) s’il existe un morphisme d’anneaux (resp. corps)
g : A → B tel que g ◦ f = id A et f ◦ g = id B .
Proposition VIII.2.5. Soient A un anneau et I un idéal de A. La projection canonique A → A/I, qui à un élément de A associe sa classe modulo I, est un
morphisme surjectif d’anneaux.
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Proposition VIII.2.3. Soient A un anneau et S une partie de A. L’idéal de A engendré par S est formé des éléments de A s’écrivant
finie
a i s i , a i ∈ A, s i ∈ S.
Notation : Si la partie S est réduite à un élément, S = {a}, on note (a) l’idéal
engendré par a.
Définition VIII.2.2. Un idéal I d’un anneau A est dit propre si I = {0} et
I = A.
Proposition VIII.2.4. Un anneau commutatif A est un corps si et seulement s’il ne
possède aucun idéal propre.
Attention. Le résultat précédent est faux si l’anneau A est non commutatif.
(Considérer un anneau de matrices.) Plus précisément, un corps ne possède pas
d’idéaux propres ; l’hypothèse de commutativité de l’anneau est nécessaire pour
démontrer l’implication dans l’autre sens.
Exercice VIII.6. Montrer que les idéaux de l’anneau Z sont les (n) pour n parcourant N. (On utilisera la division euclidienne dans Z.)
Définition VIII.2.3. Soient A et B deux anneaux (resp. corps). Un morphisme
d’anneaux (resp. de corps) de A dans B est une application f : A → B
vérifiant
∀ (x, y) ∈ A × A, f (x + y) = f (x) + f (y)
∀ (x, y) ∈ A × A, f (x.y) = f (x).f (y)
f (1 A ) = 1 B .
Un morphisme d’anneaux (resp. corps) f : A → B est un isomorphisme d’anneaux (resp. corps) s’il existe un morphisme d’anneaux (resp. corps)
g : A → B tel que g ◦ f = id A et f ◦ g = id B .
Proposition VIII.2.5. Soient A un anneau et I un idéal de A. La projection canonique A → A/I, qui à un élément de A associe sa classe modulo I, est un
morphisme surjectif d’anneaux.
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