VIII.2. Idéaux – Morphismes
A/R une addition et une multiplication (x + y = x + y, x.y = xy) qui munissent
A/R d’une structure d’anneau si et seulement si R est compatible avec l’addition
et la multiplication de A.
D’après (II.2), en notant I la classe de 0 pour la relation R, le groupe abélien
(A/R, +) s’identifie au groupe abélien (A/I, +) et la multiplication de A induit
une multiplication sur A/I. La relation R est compatible avec la multiplication
de A si et seulement si
∀ x ∈ I, ∀ a ∈ A, a.x ∈ I.
Ceci conduit à la définition :
Définition VIII.2.1. Une partie I d’un anneau A est un idéal de A si I est un
sous-groupe abélien de A pour l’addition et si
∀ x ∈ I, ∀ a ∈ A, a.x ∈ I.
Remarques VIII.2.1.
a) Il est clair que A et {0} sont des idéaux de A.
b) Il est évident que si I est un idéal d’un anneau A et si 1 ∈ I, alors I = A.
La discussion précédente montre que :
Théorème VIII.2.1. Soient A un anneau et I un idéal de A. Alors l’addition et
la multiplication induites par celles de A sur A/I le munissent d’une structure
d’anneau.
Proposition - Définition VIII.2.1. Si I et J sont deux idéaux d’un anneau A, alors
I + J = {x + y | x ∈ I, y ∈ J} est un idéal de A, appelé somme des idéaux I
et J ;
IJ =
finie
x l y l | x l ∈ I, y l ∈ J
est un idéal de A, appelé produit des idéaux
I et J.
Si {I l } l∈L est une famille non vide d’idéaux d’un anneau A, alors
l∈L
I l est un
idéal de A.
Proposition - Définition VIII.2.2. Soient A un anneau et S une partie de A. On
appelle idéal de A engendré par S le plus petit idéal de A contenant S. C’est
l’intersection des idéaux de A contenant S.
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