Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
Définition VIII.1.3. Une partie B d’un anneau (resp. corps) A est un sousanneau (resp. sous-corps) de A si, munie des lois induites par celles de A,
c’est un anneau (resp. corps).
Proposition VIII.1.2. Une partie B d’un anneau A est un sous-anneau de A si et
seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées :
(i) B munie de l’addition induite par celle de A est un sous-groupe abélien de
(A, +)
(ii) B contient l’élément unité 1 de A
(iii) B est stable pour la multiplication de A.
Exercice VIII.4. Montrer que l’ensemble
A = {a + ib | a ∈ Z, b ∈ Z, i
2 = −1}
est un sous-anneau de C. Déterminer U(A). (Indication : utiliser le module d’un
nombre complexe et le fait que U(Z) = {1}.)
Proposition - Définition VIII.1.3. Soient A un anneau (resp. corps) et S une partie
de A. Le sous-anneau (resp. sous-corps) de A engendré par S est le plus petit
sous-anneau (resp. sous-corps) de A contenant S (pour la relation d’ordre induite par l’inclusion). C’est l’intersection des sous-anneaux (resp. sous-corps) de
A contenant S.
Remarque VIII.1.2. Pour S = {0, 1}, cela conduit à la notion de sous-corps premier étudiée au chapitre IX.
Exercice VIII.5.
1. Déterminer le sous-anneau et le sous-corps de R engendré par
√
2. Mêmes
questions avec
3
√
2.
2. Soient A un anneau et S une partie de A. Montrer que le sous-anneau de A
engendré par S est formé des éléments
finie
s
n i 1
i 1
. . . s
n i k
i k
, avec s i j ∈ S et n i j ∈ N.
VIII.2. Idéaux – Morphismes
L’étude faite au chapitre II montre que, si R est une relation d’équivalence définie sur un anneau A, l’addition et la multiplication de A induisent sur l’ensemble
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