VIII.1. Définitions - Exemples
qu’on appelle différence symétrique de A et B. Montrer que P(X) muni des
opérations
∀A ∈ P(X), ∀B ∈ P(X), (A, B) → AΔB
∀A ∈ P(X), ∀B ∈ P(X), (A, B) → A ∩ B
est un anneau commutatif.
Sauf dans quelques exemples,
TOUS LES ANNEAUX CONSIDÉRÉS DANS CE LIVRE
SONT COMMUTATIFS.
Par conséquent, dans toute la suite nous ne traiterons que le cas des anneaux
commutatifs.
Définition VIII.1.2. Un élément a d’un anneau A admet un inverse s’il existe
un élément b de A tel que ab = 1. Un élément a d’un anneau A est inversible
s’il admet un inverse (qui est alors unique). On note alors a −1 son inverse et
U(A) l’ensemble des éléments inversibles de A.
Proposition VIII.1.1. Soit A un anneau. Alors U(A), muni de la multiplication induite par celle de A, est un groupe (abélien) dont l’unité de A est l’élément neutre.
Exercice VIII.2.
1. Déterminer U(R[X]).
2. Déterminer U(F(X, A)), où F(X, A) est l’anneau défini à l’exercice I.1.1.
Remarque VIII.1.1. Il est clair qu’un anneau A = {0} est un corps si et seulement
si U(A) = A \ {0}.
Exercice VIII.3. (¶).
1. Soient K un corps commutatif et G un sous-groupe fini de K ∗ = U(K).
Montrer que le groupe G est formé de racines de l’unité, (cf. XV.1), et qu’il est
cyclique. (En notant n le ppcm des ordres des éléments de G, on montrera, en utilisant le théorème de structure des groupes abéliens de type fini (cf. chapitre VI),
qu’il existe un élément x de G d’ordre n et on montrera que G = x).
2. En déduire que si K est un corps fini commutatif à q éléments, le groupe K ∗
est cyclique d’ordre (q − 1).
Dans la question ci-dessus, l’hypothèse corps fini commutatif est redondante
puisque tout corps fini est commutatif (cf. chapitre XV).
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qu’on appelle différence symétrique de A et B. Montrer que P(X) muni des
opérations
∀A ∈ P(X), ∀B ∈ P(X), (A, B) → AΔB
∀A ∈ P(X), ∀B ∈ P(X), (A, B) → A ∩ B
est un anneau commutatif.
Sauf dans quelques exemples,
TOUS LES ANNEAUX CONSIDÉRÉS DANS CE LIVRE
SONT COMMUTATIFS.
Par conséquent, dans toute la suite nous ne traiterons que le cas des anneaux
commutatifs.
Définition VIII.1.2. Un élément a d’un anneau A admet un inverse s’il existe
un élément b de A tel que ab = 1. Un élément a d’un anneau A est inversible
s’il admet un inverse (qui est alors unique). On note alors a −1 son inverse et
U(A) l’ensemble des éléments inversibles de A.
Proposition VIII.1.1. Soit A un anneau. Alors U(A), muni de la multiplication induite par celle de A, est un groupe (abélien) dont l’unité de A est l’élément neutre.
Exercice VIII.2.
1. Déterminer U(R[X]).
2. Déterminer U(F(X, A)), où F(X, A) est l’anneau défini à l’exercice I.1.1.
Remarque VIII.1.1. Il est clair qu’un anneau A = {0} est un corps si et seulement
si U(A) = A \ {0}.
Exercice VIII.3. (¶).
1. Soient K un corps commutatif et G un sous-groupe fini de K ∗ = U(K).
Montrer que le groupe G est formé de racines de l’unité, (cf. XV.1), et qu’il est
cyclique. (En notant n le ppcm des ordres des éléments de G, on montrera, en utilisant le théorème de structure des groupes abéliens de type fini (cf. chapitre VI),
qu’il existe un élément x de G d’ordre n et on montrera que G = x).
2. En déduire que si K est un corps fini commutatif à q éléments, le groupe K ∗
est cyclique d’ordre (q − 1).
Dans la question ci-dessus, l’hypothèse corps fini commutatif est redondante
puisque tout corps fini est commutatif (cf. chapitre XV).
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