Chapitre VIII. Anneaux de polynômes
b) Si de plus la propriété suivante est vérifiée :
∀ (a, b) ∈ A × A, a.b = b.a,
l’anneau A est dit commutatif.
c) Un corps est un anneau A non réduit à {0} tel que (A \ {0}, .) soit un
groupe.
Exemples VIII.1.1.
a) L’ensemble des entiers relatifs Z, muni de l’addition et de la multiplication
usuelles, est un anneau commutatif.
b) Les ensembles Q des nombres rationnels, R des nombres réels, C des
nombres complexes, munis des opérations usuelles, sont des corps.
c) L’ensemble M n (k) des matrices (n, n) à coefficients dans un anneau commutatif k, muni de l’addition et de la multiplication des matrices, est un anneau,
non commutatif pour n 2.
d) Soit G un groupe abélien (noté additivement), alors End(G) muni de l’addition et de la composition des morphismes de groupes est un anneau (en général
non commutatif).
e) Pour tout entier n > 0, le groupe abélien Z/nZ (cf. exemple I.1.2.b)), muni
de la multiplication définie par cl(p)cl(q) = cl(pq) est un anneau commutatif,
dont l’unité est cl(1).
Exercice VIII.1.
1. Soient X un ensemble et A un anneau. On note F(X, A) l’ensemble des
applications de X dans A. Montrer que F(X, A) muni des opérations définies par
∀f ∈ F(X, A), ∀ g ∈ F(X, A), ∀x ∈ X, (f + g)(x) = f (x) + g(x)
∀f ∈ F(X, A), ∀ g ∈ F(X, A), ∀x ∈ X, (f g)(x) = f (x)g(x)
est un anneau (commutatif si et seulement si A est commutatif).
2. Soient X un ensemble et P(X) l’ensemble des parties de X. Pour deux
éléments A et B de P(X) on pose
AΔB = (A ∩ (X \ B)) ∪ (B ∩ (X \ A)),
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b) Si de plus la propriété suivante est vérifiée :
∀ (a, b) ∈ A × A, a.b = b.a,
l’anneau A est dit commutatif.
c) Un corps est un anneau A non réduit à {0} tel que (A \ {0}, .) soit un
groupe.
Exemples VIII.1.1.
a) L’ensemble des entiers relatifs Z, muni de l’addition et de la multiplication
usuelles, est un anneau commutatif.
b) Les ensembles Q des nombres rationnels, R des nombres réels, C des
nombres complexes, munis des opérations usuelles, sont des corps.
c) L’ensemble M n (k) des matrices (n, n) à coefficients dans un anneau commutatif k, muni de l’addition et de la multiplication des matrices, est un anneau,
non commutatif pour n 2.
d) Soit G un groupe abélien (noté additivement), alors End(G) muni de l’addition et de la composition des morphismes de groupes est un anneau (en général
non commutatif).
e) Pour tout entier n > 0, le groupe abélien Z/nZ (cf. exemple I.1.2.b)), muni
de la multiplication définie par cl(p)cl(q) = cl(pq) est un anneau commutatif,
dont l’unité est cl(1).
Exercice VIII.1.
1. Soient X un ensemble et A un anneau. On note F(X, A) l’ensemble des
applications de X dans A. Montrer que F(X, A) muni des opérations définies par
∀f ∈ F(X, A), ∀ g ∈ F(X, A), ∀x ∈ X, (f + g)(x) = f (x) + g(x)
∀f ∈ F(X, A), ∀ g ∈ F(X, A), ∀x ∈ X, (f g)(x) = f (x)g(x)
est un anneau (commutatif si et seulement si A est commutatif).
2. Soient X un ensemble et P(X) l’ensemble des parties de X. Pour deux
éléments A et B de P(X) on pose
AΔB = (A ∩ (X \ B)) ∪ (B ∩ (X \ A)),
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