VIII
ANNEAUX DE POLYNÔMES
Les anneaux de polynômes sont au cœur de la théorie de Galois. Nous allons,
dans ce chapitre, donner les définitions et principales propriétés de ces anneaux,
ainsi que quelques critères d’irréductibilité des polynômes. Nous traiterons également des polynômes symétriques.
Bien que les généralités classiques sur les anneaux soient, sans aucun doute,
connues par le lecteur, pour être complet nous commencerons par les rappeler sans
démonstrations dans les paragraphes 1 à 5. Par contre, le fait que l’anneau K[X],
des polynômes à coefficients dans un corps, soit principal est essentiel pour la
suite : aussi nous développerons en détail cette notion et établirons ses propriétés.
VIII.1. Définitions - Exemples
Définitions VIII.1.1.
a) Un anneau est la donnée d’un ensemble non vide A et de deux lois
de composition interne, notées + et . (appelées respectivement addition et
multiplication) telles que
(i) (A, +) est un groupe abélien (on notera 0 son élément neutre) ;
(ii) ∀ (a, b, c) ∈ A × A × A, (a.b).c = a.(b.c) ;
(iii) ∃ 1 ∈ A, ∀ a ∈ A a.1 = 1.a = a (élément unité) ;
(iv) ∀ (a, b, c) ∈ A × A × A, a.(b + c) = a.b + a.c et (b + c).a = b.a + c.a.