VIII.11. Polynômes symétriques
où les s i sont les éléments de A[T 1 , . . . , T n ] définis par
s 1 = T 1 + . . . + T n
s 2 = T 1 T 2 + T 1 T 3 + . . . + T n−1 T n =
1i
s k =
1i 1 <... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s n = T 1 T 2 . . . T n .
Définition VIII.11.1. Les polynômes s 1 , . . . , s n sont appelés polynômes symétriques élémentaires en T 1 , . . . , T n .
On remarquera que chaque polynôme s i est homogène de degré i.
Soit σ une permutation de l’ensemble {1, . . . , n}. Étant donné un polynôme
f ∈ A[T 1 , . . . , T n ], on définit le polynôme σ f par
σ f (T 1 , . . . , T n ) = f (T σ(1) , . . . , T σ(n) ).
Remarque VIII.11.1. Si σ et τ sont deux permutations de l’ensemble {1, . . . , n} et
ε est la permutation identique, on a τ ( σ f ) = (τ σ) f et ε f = f . De plus, pour f et
g dans A[T 1 , . . . , T n ] et σ ∈ S n , on a σ (f + g) = ( σ f ) + ( σ g) et σ (f g) = ( σ f )( σ g).
Autrement dit, le groupe S n opère sur A[T 1 , . . . , T n ].
Définition VIII.11.2. Un polynôme f de A[T 1 , . . . , T n ] est dit symétrique si
σ f = f pour tout élément σ de S n .
On vérifiera que les polynômes s 1 , . . . , s n sont symétriques au sens de cette
définition. Il est clair que l’ensemble des polynômes symétriques est un sousanneau de A[T 1 , . . . , T n ]. On va montrer le théorème suivant :
Théorème VIII.11.1. Le sous-anneau de A[T 1 , . . . , T n ] formé des polynômes symétriques est isomorphe à l’anneau A[s 1 , . . . , s n ].
Démonstration. Il est clair que le sous-anneau de A[T 1 , . . . , T n ] formé des polynômes symétriques contient A et les polynômes symétriques élémentaires
s 1 , . . . , s n . Il contient donc A[s 1 , . . . , s n ]. Nous allons montrer que, réciproquement, tout polynôme symétrique de A[T 1 , . . . , T n ] appartient à A[s 1 , . . . , s n ]. Ce
sera l’objet de la proposition (VIII.11.2) ci-dessous.
Proposition VIII.11.1. Si l’on substitue T n = 0 dans les polynômes symétriques
élémentaires s 1 , . . . , s n−1 , les expressions obtenues sont les polynômes symétriques
élémentaires en T 1 , . . . , T n−1 .
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où les s i sont les éléments de A[T 1 , . . . , T n ] définis par
s 1 = T 1 + . . . + T n
s 2 = T 1 T 2 + T 1 T 3 + . . . + T n−1 T n =
1i
s k =
1i 1 <... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
s n = T 1 T 2 . . . T n .
Définition VIII.11.1. Les polynômes s 1 , . . . , s n sont appelés polynômes symétriques élémentaires en T 1 , . . . , T n .
On remarquera que chaque polynôme s i est homogène de degré i.
Soit σ une permutation de l’ensemble {1, . . . , n}. Étant donné un polynôme
f ∈ A[T 1 , . . . , T n ], on définit le polynôme σ f par
σ f (T 1 , . . . , T n ) = f (T σ(1) , . . . , T σ(n) ).
Remarque VIII.11.1. Si σ et τ sont deux permutations de l’ensemble {1, . . . , n} et
ε est la permutation identique, on a τ ( σ f ) = (τ σ) f et ε f = f . De plus, pour f et
g dans A[T 1 , . . . , T n ] et σ ∈ S n , on a σ (f + g) = ( σ f ) + ( σ g) et σ (f g) = ( σ f )( σ g).
Autrement dit, le groupe S n opère sur A[T 1 , . . . , T n ].
Définition VIII.11.2. Un polynôme f de A[T 1 , . . . , T n ] est dit symétrique si
σ f = f pour tout élément σ de S n .
On vérifiera que les polynômes s 1 , . . . , s n sont symétriques au sens de cette
définition. Il est clair que l’ensemble des polynômes symétriques est un sousanneau de A[T 1 , . . . , T n ]. On va montrer le théorème suivant :
Théorème VIII.11.1. Le sous-anneau de A[T 1 , . . . , T n ] formé des polynômes symétriques est isomorphe à l’anneau A[s 1 , . . . , s n ].
Démonstration. Il est clair que le sous-anneau de A[T 1 , . . . , T n ] formé des polynômes symétriques contient A et les polynômes symétriques élémentaires
s 1 , . . . , s n . Il contient donc A[s 1 , . . . , s n ]. Nous allons montrer que, réciproquement, tout polynôme symétrique de A[T 1 , . . . , T n ] appartient à A[s 1 , . . . , s n ]. Ce
sera l’objet de la proposition (VIII.11.2) ci-dessous.
Proposition VIII.11.1. Si l’on substitue T n = 0 dans les polynômes symétriques
élémentaires s 1 , . . . , s n−1 , les expressions obtenues sont les polynômes symétriques
élémentaires en T 1 , . . . , T n−1 .
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