Avertissement
il est important de mettre en garde l’utilisateur contre une tendance à faire une
confiance aveugle au SCF et à perdre son esprit critique. Outre une réflexion sur
la relation « homme-machine », il est instructif de regarder dans la « boîte noire »
afin de prendre conscience qu’il s’agit d’algorithmes implémentés en machine, qui
ne donneront une réponse exacte que dans leur contexte strict de validité (voire
d’heuristiques, comme pour le calcul des limites, où encore davantage de vigilance
est souhaitable de la part de l’utilisateur). Le propos de ces TP ne sera donc pas
de faire étalage des possibilités offertes par Maple pour résoudre des problèmes
algébriques, mais bien de discuter des notions mathématiques en jeu et, parallèlement, des algorithmes qui se cachent derrière les commandes employées, les deux
étant évidemment liés.
Ce faisant, le SCF devient un « assistant de calcul » et un extraordinaire outil
d’expérimentation, la « responsabilité scientifique » demeurant entre les mains
de l’expérimentateur. Certains auteurs parlent d’« instrumentation raisonnée ».
L’expérimentateur est amené à « découvrir » expérimentalement des conjecturesthéorèmes, les tester avant de tenter d’en faire la démonstration au papier-crayon.
Tout en consolidant bien sûr les connaissances acquises qui sont mobilisées dans
l’action...
Certains algorithmes seront étudiés en détail, comme l’algorithme de ToddCoxeter (calcul de représentants des classes modulo un sous-groupe), de Gauss,
Hermite et Smith (algorithmes très importants en algèbre linéaire et dans la théorie des groupes abéliens, c’est-à-dire des Z-modules) ; algorithme de Berlekamp
(factorisation des polynômes sur un corps fini) ; algorithmes de recherche des souscorps d’un corps de nombre, de calcul du groupes de Galois, etc. Si certains sont
classiques, d’autres ont été découverts récemment, bien que les notions utilisées
soient à la portée d’un étudiant de L3-M1. Figurent également parmi les thèmes
traités, les courbes elliptiques (ingrédients essentiels de la preuve du célèbre théorème de Fermat, ces objets fascinants trop souvent réservés à un public averti
de Master Recherche deviennent accessibles, par le biais expérimental, grâce aux
possibilités de calcul offertes par le SCF) et les codes correcteurs d’erreur, qui
font leur apparition dans les manuels contemporains d’algèbre en tant qu’application pertinente (dans le monde de l’industrie) de l’algèbre sur les corps finis.
Sans oublier les quaternions de Hamilton, les énumérations de Polya, etc.
Ces TP ont été pour beaucoup inspirés du livre de B. Perrin-Riou [22]. Un
des auteurs a également tiré parti de sa participation au sein du groupe IREM
Fodesit-Accessit de Montpellier qui a mené une réfexion sur le « bon usage »
du calcul formel dans les cursus d’enseignement. Que tous ceux qui ont contribué
à cette réflexion pédagogique en soient remerciés. La plupart de ces TP ont été
xix
il est important de mettre en garde l’utilisateur contre une tendance à faire une
confiance aveugle au SCF et à perdre son esprit critique. Outre une réflexion sur
la relation « homme-machine », il est instructif de regarder dans la « boîte noire »
afin de prendre conscience qu’il s’agit d’algorithmes implémentés en machine, qui
ne donneront une réponse exacte que dans leur contexte strict de validité (voire
d’heuristiques, comme pour le calcul des limites, où encore davantage de vigilance
est souhaitable de la part de l’utilisateur). Le propos de ces TP ne sera donc pas
de faire étalage des possibilités offertes par Maple pour résoudre des problèmes
algébriques, mais bien de discuter des notions mathématiques en jeu et, parallèlement, des algorithmes qui se cachent derrière les commandes employées, les deux
étant évidemment liés.
Ce faisant, le SCF devient un « assistant de calcul » et un extraordinaire outil
d’expérimentation, la « responsabilité scientifique » demeurant entre les mains
de l’expérimentateur. Certains auteurs parlent d’« instrumentation raisonnée ».
L’expérimentateur est amené à « découvrir » expérimentalement des conjecturesthéorèmes, les tester avant de tenter d’en faire la démonstration au papier-crayon.
Tout en consolidant bien sûr les connaissances acquises qui sont mobilisées dans
l’action...
Certains algorithmes seront étudiés en détail, comme l’algorithme de ToddCoxeter (calcul de représentants des classes modulo un sous-groupe), de Gauss,
Hermite et Smith (algorithmes très importants en algèbre linéaire et dans la théorie des groupes abéliens, c’est-à-dire des Z-modules) ; algorithme de Berlekamp
(factorisation des polynômes sur un corps fini) ; algorithmes de recherche des souscorps d’un corps de nombre, de calcul du groupes de Galois, etc. Si certains sont
classiques, d’autres ont été découverts récemment, bien que les notions utilisées
soient à la portée d’un étudiant de L3-M1. Figurent également parmi les thèmes
traités, les courbes elliptiques (ingrédients essentiels de la preuve du célèbre théorème de Fermat, ces objets fascinants trop souvent réservés à un public averti
de Master Recherche deviennent accessibles, par le biais expérimental, grâce aux
possibilités de calcul offertes par le SCF) et les codes correcteurs d’erreur, qui
font leur apparition dans les manuels contemporains d’algèbre en tant qu’application pertinente (dans le monde de l’industrie) de l’algèbre sur les corps finis.
Sans oublier les quaternions de Hamilton, les énumérations de Polya, etc.
Ces TP ont été pour beaucoup inspirés du livre de B. Perrin-Riou [22]. Un
des auteurs a également tiré parti de sa participation au sein du groupe IREM
Fodesit-Accessit de Montpellier qui a mené une réfexion sur le « bon usage »
du calcul formel dans les cursus d’enseignement. Que tous ceux qui ont contribué
à cette réflexion pédagogique en soient remerciés. La plupart de ces TP ont été
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