Algèbre T1
Les travaux pratiques ne sont pas des TP d’informatique, ni d’algorithmique,
mais plutôt de « mathématiques assistées par ordinateur », bien que l’on soit
naturellement amené à détailler des algorithmes et à discuter de leur pertinence.
L’étude formelle de la « complexité » a été volontairement éludée. Au besoin,
le lecteur pourra consulter les ouvrages de calcul formel cités en bibliographie
([28] par exemple). Les prérequis en programmation sont minimaux (procédures,
boucles et branchements).
Le logiciel de calcul formel retenu est Maple (1) , conformément aux positions
institutionnelles actuelles qui se reflètent au niveau des concours. Cependant,
d’autres logiciels sont beaucoup mieux adaptés à certaines questions, en fonction
du domaine concerné : gap (2) pour les groupes et pari/gp (3) pour la théorie
des nombres, par exemple. Mentionnons également maxima (4) , xcas/giac (5) et
sage (6) qui partagent la même vocation généraliste que Maple. Le lecteur notera
que tous les logiciels cités sont libres sous licence gnu-gpl (7) ... à l’exception de
Maple.
Le sujet de chaque TP est en relation directe avec le cours du chapitre courant, dont il permet d’aborder les notions par la pratique avec un point de vue
effectif. En ce sens, certains TP constituent de véritables compléments de cours,
l’expérimentation par le biais du système de calcul formel (SCF) étant le contexte
naturel d’élaboration et d’apprentissage de ces méthodes. Signalons que c’est la
manipulation des formules qui est à l’origine du calcul formel (8) ou « computer
algebra » en anglais, terminologie qui indique clairement une nature algébrique
sous-jacente et désigne une branche disciplinaire des mathématiques qui a pris
son essor avec l’avènement des ordinateurs.
Si l’on obtient rapidement des résultats inaccessibles à la main, après reformulation des nombreux problèmes qui s’y prêtent dans un langage symbolique (très proche de la formulation mathématique) compréhensible par le SCF,
(1) Pour « érable » ou MAthematical PLEasure, cf. http://www.maplesoft.com/products/maple
(2) http://www.gap-system.org
(3) http://pari.math.u-bordeaux.fr
(4) http://maxima.sourceforge.net ou http://michel.gosse.free.fr
(5) http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜parisse/gia_fr.html
(6) http://www.sagemath.org
(7) General Public Licence, cf. http://www.april.org/gnu/gpl_french.html
(8) Le calcul formel, ou calcul symbolique, est l’art de réaliser des calculs algébriques (i.e. des
manipulations d’expressions) sur des objets généraux représentés en machine et soumis à des
règles de transformation bien définies (qui peuvent être prédéfinies dans le logiciel ou bien définies
par l’utilisateur). Les algorithmes pour ce type de transformations sont en général basés sur des
méthodes exactes, c’est-à-dire qu’il n’y a pas d’erreur due à la méthode, par opposition au calcul
numérique qui est l’art de réaliser des calculs approchés où se combinent erreurs de méthode et
erreurs d’arrondi (limitation due à la représentation des nombres en machine).
xviii
Les travaux pratiques ne sont pas des TP d’informatique, ni d’algorithmique,
mais plutôt de « mathématiques assistées par ordinateur », bien que l’on soit
naturellement amené à détailler des algorithmes et à discuter de leur pertinence.
L’étude formelle de la « complexité » a été volontairement éludée. Au besoin,
le lecteur pourra consulter les ouvrages de calcul formel cités en bibliographie
([28] par exemple). Les prérequis en programmation sont minimaux (procédures,
boucles et branchements).
Le logiciel de calcul formel retenu est Maple (1) , conformément aux positions
institutionnelles actuelles qui se reflètent au niveau des concours. Cependant,
d’autres logiciels sont beaucoup mieux adaptés à certaines questions, en fonction
du domaine concerné : gap (2) pour les groupes et pari/gp (3) pour la théorie
des nombres, par exemple. Mentionnons également maxima (4) , xcas/giac (5) et
sage (6) qui partagent la même vocation généraliste que Maple. Le lecteur notera
que tous les logiciels cités sont libres sous licence gnu-gpl (7) ... à l’exception de
Maple.
Le sujet de chaque TP est en relation directe avec le cours du chapitre courant, dont il permet d’aborder les notions par la pratique avec un point de vue
effectif. En ce sens, certains TP constituent de véritables compléments de cours,
l’expérimentation par le biais du système de calcul formel (SCF) étant le contexte
naturel d’élaboration et d’apprentissage de ces méthodes. Signalons que c’est la
manipulation des formules qui est à l’origine du calcul formel (8) ou « computer
algebra » en anglais, terminologie qui indique clairement une nature algébrique
sous-jacente et désigne une branche disciplinaire des mathématiques qui a pris
son essor avec l’avènement des ordinateurs.
Si l’on obtient rapidement des résultats inaccessibles à la main, après reformulation des nombreux problèmes qui s’y prêtent dans un langage symbolique (très proche de la formulation mathématique) compréhensible par le SCF,
(1) Pour « érable » ou MAthematical PLEasure, cf. http://www.maplesoft.com/products/maple
(2) http://www.gap-system.org
(3) http://pari.math.u-bordeaux.fr
(4) http://maxima.sourceforge.net ou http://michel.gosse.free.fr
(5) http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜parisse/gia_fr.html
(6) http://www.sagemath.org
(7) General Public Licence, cf. http://www.april.org/gnu/gpl_french.html
(8) Le calcul formel, ou calcul symbolique, est l’art de réaliser des calculs algébriques (i.e. des
manipulations d’expressions) sur des objets généraux représentés en machine et soumis à des
règles de transformation bien définies (qui peuvent être prédéfinies dans le logiciel ou bien définies
par l’utilisateur). Les algorithmes pour ce type de transformations sont en général basés sur des
méthodes exactes, c’est-à-dire qu’il n’y a pas d’erreur due à la méthode, par opposition au calcul
numérique qui est l’art de réaliser des calculs approchés où se combinent erreurs de méthode et
erreurs d’arrondi (limitation due à la représentation des nombres en machine).
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