VII.4. Applications
VII.4. Applications
Proposition VII.4.1. Les groupes simples résolubles sont les groupes cycliques
d’ordre premier.
Démonstration. Il est clair que les groupes cycliques d’ordre premier sont simples
et résolubles. Réciproquement, soit G un groupe simple et résoluble. Puisqu’il
est simple, sa seule suite de composition décroissante est {e} G et puisqu’il est
résoluble, il est donc abélien. On sait qu’un groupe abélien simple est cyclique
d’ordre premier (TR.I.B).
Corollaire VII.4.1. Les groupes S n , pour n 5, ne sont pas résolubles.
Démonstration. Soit n 5 un entier ; si le groupe S n est résoluble, le groupe A n
l’est aussi, d’après le théorème (VII.3.1.(ii)). Or, on sait que pour n 5 le groupe
A n est simple (TR.II.B) ; d’après la proposition (VII.4.1) il serait donc cyclique,
ce qui est absurde.
Proposition VII.4.2. Un groupe fini non trivial est résoluble si et seulement si
les quotients de ses suites de Jordan-Hölder sont des groupes cycliques d’ordre
premier.
Démonstration. Soit G un groupe fini non trivial. Il admet des suites de
Jordan-Hölder, proposition (VII.2.2.(ii)), qui sont toutes équivalentes, théorème (VII.2.1.(ii)). Supposons que G soit résoluble ; alors, d’après la proposition (VII.3.1), on a D(G) = G. On peut donc considérer l’ensemble N 0 des sousgroupes normaux de G contenant D(G). Cet ensemble est non vide (D(G) ∈ N 0 ),
fini, ordonné par inclusion : il admet donc un élément maximal G 1 . On a
D(G) ⊂ G 1 , donc le groupe G/G 1 est abélien (TR.II.A), et il est simple puisque
G 1 est maximal. Le groupe G/G 1 est donc cyclique d’ordre premier. Le groupe G 1
est résoluble, comme sous-groupe d’un groupe résoluble : on applique le même procédé que ci-dessus pour construire un sous-groupe normal G 2 de G 1 tel G 1 /G 2
soit cyclique d’ordre premier. Puisque G est fini, en réitérant un nombre fini de
fois ce procédé, on obtient une suite de composition
{e} = G n G n−1 · · · G 1 G 0 = G
qui est une suite de Jordan-Hölder dont les quotients sont des groupes cycliques
d’ordre premier.
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Proposition VII.4.1. Les groupes simples résolubles sont les groupes cycliques
d’ordre premier.
Démonstration. Il est clair que les groupes cycliques d’ordre premier sont simples
et résolubles. Réciproquement, soit G un groupe simple et résoluble. Puisqu’il
est simple, sa seule suite de composition décroissante est {e} G et puisqu’il est
résoluble, il est donc abélien. On sait qu’un groupe abélien simple est cyclique
d’ordre premier (TR.I.B).
Corollaire VII.4.1. Les groupes S n , pour n 5, ne sont pas résolubles.
Démonstration. Soit n 5 un entier ; si le groupe S n est résoluble, le groupe A n
l’est aussi, d’après le théorème (VII.3.1.(ii)). Or, on sait que pour n 5 le groupe
A n est simple (TR.II.B) ; d’après la proposition (VII.4.1) il serait donc cyclique,
ce qui est absurde.
Proposition VII.4.2. Un groupe fini non trivial est résoluble si et seulement si
les quotients de ses suites de Jordan-Hölder sont des groupes cycliques d’ordre
premier.
Démonstration. Soit G un groupe fini non trivial. Il admet des suites de
Jordan-Hölder, proposition (VII.2.2.(ii)), qui sont toutes équivalentes, théorème (VII.2.1.(ii)). Supposons que G soit résoluble ; alors, d’après la proposition (VII.3.1), on a D(G) = G. On peut donc considérer l’ensemble N 0 des sousgroupes normaux de G contenant D(G). Cet ensemble est non vide (D(G) ∈ N 0 ),
fini, ordonné par inclusion : il admet donc un élément maximal G 1 . On a
D(G) ⊂ G 1 , donc le groupe G/G 1 est abélien (TR.II.A), et il est simple puisque
G 1 est maximal. Le groupe G/G 1 est donc cyclique d’ordre premier. Le groupe G 1
est résoluble, comme sous-groupe d’un groupe résoluble : on applique le même procédé que ci-dessus pour construire un sous-groupe normal G 2 de G 1 tel G 1 /G 2
soit cyclique d’ordre premier. Puisque G est fini, en réitérant un nombre fini de
fois ce procédé, on obtient une suite de composition
{e} = G n G n−1 · · · G 1 G 0 = G
qui est une suite de Jordan-Hölder dont les quotients sont des groupes cycliques
d’ordre premier.
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