Chapitre VII. Groupes résolubles
Théorème VII.3.1. Soit G un groupe.
(i) Si G est résoluble tout sous-groupe de G est résoluble.
(ii) Si H est un sous-groupe normal de G, alors G est résoluble si et seulement
si H et G/H sont résolubles.
Démonstration. (i). Soit
{e} = G n G n−1 · · · G 1 G 0 = G
une suite de composition de G dont les quotients sont abéliens et soit H un
sous-groupe de G. On pose H i = H ∩ G i : alors,
{e} = H n H n−1 · · · H 1 H 0 = H
est une suite de composition de H. On a,
H i /H i+1 = (H ∩ G i )/(H ∩ G i+1 ).
Ce dernier groupe est, d’après le lemme (VII.1.1.(ii)), isomorphe à
(G i+1 (H ∩ G i ))/G i+1 qui est un sous-groupe de G i /G i+1 , donc abélien.
(ii). Soit H un sous-groupe normal de G. Supposons que G soit résoluble.
D’après (i), H est résoluble ; montrons que G/H est résoluble. On considère la
suite de composition de G/H,
{e} = H/H = G n H/H H G n−1 H/H H · · · G 1 H/H H G 0 H/H = G/H.
On a,
(G i H/H)/(G i+1 H/H) (G i (G i+1 H))/G i+1 H
G i /(G i ∩ G i+1 H) (G i /G i+1 )/((G i ∩ G i+1 H)/G i+1 )
qui est un quotient de G i /G i+1 , donc abélien.
Réciproquement, supposons que H et G/H soient résolubles. On a deux suites
de composition
{e} = H n H n−1 · · · H 1 H 0 = H
{e} = G p /H H G p−1 /H H · · · G 1 /H H G 0 /H = G/H
dont les groupes quotients sont abéliens. On considère la suite de composition
de G,
{e} = H n H n−1 · · · H 0 = H = G p G p−1 · · · G 1 G 0 = G.
Les groupes quotients sont H i /H i+1 ou G i /G i+1 (G i /H)/(G i+1 /H), qui sont
abéliens, donc G est résoluble.
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