VII.3. Groupes résolubles
VII.3. Groupes résolubles
Définition VII.3.1. Un groupe G est résoluble s’il admet une suite de composition dont les quotients sont des groupes abéliens.
On rappelle que les sous-groupes dérivés D i (G) d’un groupe G sont définis
par D 0 (G) = G, D 1 (G) = [G, G] (sous-groupe engendré par les commutateurs
d’éléments de G (cf. TR.II.A), D i+1 (G) = D(D i (G)). Il est clair que ces sousgroupes forment une suite décroissante et que D i+1 (G) D i (G).
Proposition VII.3.1. Le groupe G est résoluble si et seulement s’il existe un entier
n 0 tel que D n (G) = {e}.
Démonstration. Si le groupe G est résoluble, il admet une suite de composition
(qu’on peut supposer strictement décroissante)
{e} = G n G n−1 · · · G 1 G 0 = G
telle que G i /G i+1 , 0 i n − 1, soient des groupes abéliens. Or, le groupe
G i /G i+1 est abélien si et seulement si D i+1 (G) ⊂ D i (G 1 ) (TR.II.A). D’où, par
récurrence,
D i+1 (G) ⊂ D i (G 1 ) ⊂ · · · ⊂ D(G i ) ⊂ G i+1
et, en particulier, D n (G) ⊂ G n = {e}.
Réciproquement, s’il existe n 0 tel que D n (G) = {e}, on a une suite de
composition
{e} = D n (G) D n−1 (G) · · · D(G) G.
Par construction, chaque quotient D i (G)/D i+1 (G) est abélien ; le groupe G est
donc résoluble.
Exemples VII.3.1.
a) Tout groupe abélien est résoluble.
b) Le groupe S 3 est résoluble, car {e} A 3 S 3 est une suite de composition
et A 3 Z/3Z, S 3 /A 3 Z/2Z.
c) Le groupe S 4 est résoluble, car {e}V 4 A 4 S 4 est une suite de composition
et V 4 Z/2Z × Z/2Z, A 4 /V 4 Z/3Z, S 4 /A 4 Z/2Z.
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VII.3. Groupes résolubles
Définition VII.3.1. Un groupe G est résoluble s’il admet une suite de composition dont les quotients sont des groupes abéliens.
On rappelle que les sous-groupes dérivés D i (G) d’un groupe G sont définis
par D 0 (G) = G, D 1 (G) = [G, G] (sous-groupe engendré par les commutateurs
d’éléments de G (cf. TR.II.A), D i+1 (G) = D(D i (G)). Il est clair que ces sousgroupes forment une suite décroissante et que D i+1 (G) D i (G).
Proposition VII.3.1. Le groupe G est résoluble si et seulement s’il existe un entier
n 0 tel que D n (G) = {e}.
Démonstration. Si le groupe G est résoluble, il admet une suite de composition
(qu’on peut supposer strictement décroissante)
{e} = G n G n−1 · · · G 1 G 0 = G
telle que G i /G i+1 , 0 i n − 1, soient des groupes abéliens. Or, le groupe
G i /G i+1 est abélien si et seulement si D i+1 (G) ⊂ D i (G 1 ) (TR.II.A). D’où, par
récurrence,
D i+1 (G) ⊂ D i (G 1 ) ⊂ · · · ⊂ D(G i ) ⊂ G i+1
et, en particulier, D n (G) ⊂ G n = {e}.
Réciproquement, s’il existe n 0 tel que D n (G) = {e}, on a une suite de
composition
{e} = D n (G) D n−1 (G) · · · D(G) G.
Par construction, chaque quotient D i (G)/D i+1 (G) est abélien ; le groupe G est
donc résoluble.
Exemples VII.3.1.
a) Tout groupe abélien est résoluble.
b) Le groupe S 3 est résoluble, car {e} A 3 S 3 est une suite de composition
et A 3 Z/3Z, S 3 /A 3 Z/2Z.
c) Le groupe S 4 est résoluble, car {e}V 4 A 4 S 4 est une suite de composition
et V 4 Z/2Z × Z/2Z, A 4 /V 4 Z/3Z, S 4 /A 4 Z/2Z.
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