Chapitre VII. Groupes résolubles
Remarques - Exemples VII.2.1.
a) Si Σ et Σ sont deux suites de composition équivalentes et si Σ est une suite
de Jordan-Hölder, il en est de même de Σ .
b) Un groupe simple G admet une suite de Jordan-Hölder {e} = G 1 G 0 = G.
c) La suite {e} A 3 S 3 est de Jordan-Hölder.
d) La suite {e} K K V 4 A 4 S 4 est de Jordan-Hölder.
Proposition VII.2.2.
(i) Si un groupe abélien admet une suite de Jordan-Hölder, il est fini.
(ii) Un groupe fini (non trivial) admet une suite de Jordan-Hölder.
Démonstration. (i). Soit G un groupe abélien et
{e} = G n · · · G 0 = G
une suite de Jordan-Hölder de G. Chaque groupe quotient G i /G i+1 est abélien simple, donc cyclique d’ordre premier p i (TR.I.B). On en déduit que
|G| = p 0 . . . p n−1 est fini.
(ii). Soit G un groupe fini (non simple) et N 0 l’ensemble de ses sous-groupes
normaux propres. C’est un ensemble non vide fini. Toute suite strictement croissante d’éléments de N 0 est finie, donc N 0 a un élément maximal G 1 et le groupe
G/G 1 est simple. Si le groupe G 1 est simple, on a une suite de Jordan-Hölder
{e}G 1 G. Sinon, on recommence en considérant l’ensemble N 1 des sous-groupes
normaux propres de G 1 . Puisque le nombre de sous-groupes de G est fini, en un
nombre fini de telles opérations, on a une suite de Jordan-Hölder
{e} = G n G n−1 · · · G 1 G 0 = G.
Théorème VII.2.1. Soit G un groupe admettant une suite de Jordan-Hölder.
(i) Toute suite de composition strictement décroissante de G admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder.
(ii) Deux suites de Jordan-Hölder quelconques de G sont équivalentes.
Démonstration. (i). Notons Σ 0 une suite de Jordan-Hölder donnée de G et soit
Σ une suite de composition strictement décroissante de G. D’après le théorème (VII.1.1), Σ 0 et Σ admettent des raffinements équivalents Σ
0 et Σ . Mais,
d’après la proposition (VII.2.1), Σ
0 = Σ 0 , d’où Σ ∼ Σ 0 et Σ est une suite de
Jordan-Hölder.
(ii). Avec les mêmes notations, si Σ est une suite de Jordan-Hölder, on a
Σ = Σ, d’où Σ ∼ Σ 0 .
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Remarques - Exemples VII.2.1.
a) Si Σ et Σ sont deux suites de composition équivalentes et si Σ est une suite
de Jordan-Hölder, il en est de même de Σ .
b) Un groupe simple G admet une suite de Jordan-Hölder {e} = G 1 G 0 = G.
c) La suite {e} A 3 S 3 est de Jordan-Hölder.
d) La suite {e} K K V 4 A 4 S 4 est de Jordan-Hölder.
Proposition VII.2.2.
(i) Si un groupe abélien admet une suite de Jordan-Hölder, il est fini.
(ii) Un groupe fini (non trivial) admet une suite de Jordan-Hölder.
Démonstration. (i). Soit G un groupe abélien et
{e} = G n · · · G 0 = G
une suite de Jordan-Hölder de G. Chaque groupe quotient G i /G i+1 est abélien simple, donc cyclique d’ordre premier p i (TR.I.B). On en déduit que
|G| = p 0 . . . p n−1 est fini.
(ii). Soit G un groupe fini (non simple) et N 0 l’ensemble de ses sous-groupes
normaux propres. C’est un ensemble non vide fini. Toute suite strictement croissante d’éléments de N 0 est finie, donc N 0 a un élément maximal G 1 et le groupe
G/G 1 est simple. Si le groupe G 1 est simple, on a une suite de Jordan-Hölder
{e}G 1 G. Sinon, on recommence en considérant l’ensemble N 1 des sous-groupes
normaux propres de G 1 . Puisque le nombre de sous-groupes de G est fini, en un
nombre fini de telles opérations, on a une suite de Jordan-Hölder
{e} = G n G n−1 · · · G 1 G 0 = G.
Théorème VII.2.1. Soit G un groupe admettant une suite de Jordan-Hölder.
(i) Toute suite de composition strictement décroissante de G admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder.
(ii) Deux suites de Jordan-Hölder quelconques de G sont équivalentes.
Démonstration. (i). Notons Σ 0 une suite de Jordan-Hölder donnée de G et soit
Σ une suite de composition strictement décroissante de G. D’après le théorème (VII.1.1), Σ 0 et Σ admettent des raffinements équivalents Σ
0 et Σ . Mais,
d’après la proposition (VII.2.1), Σ
0 = Σ 0 , d’où Σ ∼ Σ 0 et Σ est une suite de
Jordan-Hölder.
(ii). Avec les mêmes notations, si Σ est une suite de Jordan-Hölder, on a
Σ = Σ, d’où Σ ∼ Σ 0 .
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