VII.2. Suites de Jordan-Hölder
Théorème VII.1.1. Soient Σ 1 et Σ 2 deux suites de composition d’un groupe G. Il
existe deux suites de composition Σ
1 et Σ
2 telles que
Σ 1 ⊆ Σ
1 , Σ 2 ⊆ Σ
2 , Σ
1 ∼ Σ
2 .
Démonstration. Soient
Σ 1 : {e} = H n H n−1 · · · H 1 H 0 = G
Σ 2 : {e} = K p K p−1 · · · K 1 K 0 = G.
On pose H i,j = H i (H i−1 ∩ K j ) et K l,m = K l (K l−1 ∩ H m ), 1 i n,
1 m n, 1 j p, 1 l p. Puisque H i H i−1 et K l K l−1 , H i,j et
K l,m sont des sous-groupes de G. On considère Σ
1 la suite de sous-groupes de G
obtenue en intercalant entre H i et H i−1 les sous-groupes H i,j , 1 j p. D’après
le lemme (VII.1.1.(i)), on a
H i = H i,p H i,p−1 · · · H i,j H i,j−1 · · · H i,0 = H i−1
et la suite Σ
1 est une suite de composition de G, de longueur np, qui est un
raffinement de Σ 1 . On procède de la même manière à partir de Σ 2 , en intercalant
les K l,m , pour obtenir une suite de composition Σ
2 , de longueur np, qui est un
raffinement de Σ 2 . D’après le lemme (VII.1.1.(ii)), on a H i,j−1 /H i,j K j,i−1 /K j,i .
On en déduit donc que Σ
1 ∼ Σ
2 .
VII.2. Suites de Jordan-Hölder
Définition VII.2.1. Une suite de composition d’un groupe G est une suite de
Jordan-Hölder si tous les quotients de la suite sont des groupes simples.
Proposition VII.2.1. Une suite de composition d’un groupe G est une suite de
Jordan-Hölder si et seulement si elle est strictement décroissante et n’admet aucun
raffinement propre.
Démonstration. Soit Σ une suite de composition de G,
Σ : {e} = G n · · · G 1 G 0 = G.
Le groupe G i /G i+1 est simple si et seulement si G i = G i+1 et, pour tout sousgroupe normal N de G i contenant G i+1 , on a N = G i ou N = G i+1 . Autrement
dit, G i /G i+1 est simple si et seulement si G i+1 est un sous-groupe normal maximal
de G i . D’où le résultat.
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Théorème VII.1.1. Soient Σ 1 et Σ 2 deux suites de composition d’un groupe G. Il
existe deux suites de composition Σ
1 et Σ
2 telles que
Σ 1 ⊆ Σ
1 , Σ 2 ⊆ Σ
2 , Σ
1 ∼ Σ
2 .
Démonstration. Soient
Σ 1 : {e} = H n H n−1 · · · H 1 H 0 = G
Σ 2 : {e} = K p K p−1 · · · K 1 K 0 = G.
On pose H i,j = H i (H i−1 ∩ K j ) et K l,m = K l (K l−1 ∩ H m ), 1 i n,
1 m n, 1 j p, 1 l p. Puisque H i H i−1 et K l K l−1 , H i,j et
K l,m sont des sous-groupes de G. On considère Σ
1 la suite de sous-groupes de G
obtenue en intercalant entre H i et H i−1 les sous-groupes H i,j , 1 j p. D’après
le lemme (VII.1.1.(i)), on a
H i = H i,p H i,p−1 · · · H i,j H i,j−1 · · · H i,0 = H i−1
et la suite Σ
1 est une suite de composition de G, de longueur np, qui est un
raffinement de Σ 1 . On procède de la même manière à partir de Σ 2 , en intercalant
les K l,m , pour obtenir une suite de composition Σ
2 , de longueur np, qui est un
raffinement de Σ 2 . D’après le lemme (VII.1.1.(ii)), on a H i,j−1 /H i,j K j,i−1 /K j,i .
On en déduit donc que Σ
1 ∼ Σ
2 .
VII.2. Suites de Jordan-Hölder
Définition VII.2.1. Une suite de composition d’un groupe G est une suite de
Jordan-Hölder si tous les quotients de la suite sont des groupes simples.
Proposition VII.2.1. Une suite de composition d’un groupe G est une suite de
Jordan-Hölder si et seulement si elle est strictement décroissante et n’admet aucun
raffinement propre.
Démonstration. Soit Σ une suite de composition de G,
Σ : {e} = G n · · · G 1 G 0 = G.
Le groupe G i /G i+1 est simple si et seulement si G i = G i+1 et, pour tout sousgroupe normal N de G i contenant G i+1 , on a N = G i ou N = G i+1 . Autrement
dit, G i /G i+1 est simple si et seulement si G i+1 est un sous-groupe normal maximal
de G i . D’où le résultat.
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