Chapitre VII. Groupes résolubles
a) On dit que Σ est un raffinement de Σ, si p n et pour tout i,
0 i n, il existe j i , 0 j i p tel que G i = K j i (autrement dit, la suite Σ
est extraite de Σ ). On écrit alors Σ ⊆ Σ . Si, de plus, il existe j, 0 j p,
tel que pour tout i, 0 i n, K j = G i , on dit que Σ est un raffinement
propre de Σ. On écrit alors Σ ⊂ Σ .
b) On dit que les suites de composition Σ et Σ sont équivalentes si n = p
et s’il existe une permutation σ ∈ S n telle que, pour tout i, 0 i n − 1, les
groupes G i /G i+1 et K σ(i) /K σ(i)+1 soient isomorphes. On écrit alors Σ ∼ Σ .
Remarques - Exemples VII.1.1.
a) Tout groupe a une suite de composition {e} G.
b) La suite {e} K K V 4 A 4 S 4 est une suite de composition de S 4 (cf.
TR.II.B).
c) Une suite extraite d’une suite de composition peut ne pas être une suite de
composition (non transitivité des sous-groupes normaux).
Lemme VII.1.1. Soient H, H , K, K des sous-groupes d’un groupe G, tels que
H H et K K. On a
(i) H (H ∩ K ) H (H ∩ K), K (H ∩ K) K (H ∩ K)
(ii) H (H ∩ K)/H (H ∩ K ) K (H ∩ K)/K (H ∩ K).
Démonstration. L’assertion (i) est évidente. Pour démontrer l’assertion (ii),
on montre que chacun des deux groupes est isomorphe au groupe
(H ∩ K)/(H ∩ K )(H ∩ K). Pour cela, on va construire un morphisme surjectif de groupes
ϕ : H
(H ∩ K) −→ (H ∩ K)/(H ∩ K
)(H
∩ K)
et montrer que Ker(ϕ) = H (H ∩K ), d’où l’isomorphisme cherché. Soient x ∈ H ,
y ∈ H ∩ K ; posons ϕ(xy) = y, où y est la classe de y modulo (H ∩ K )(H ∩ K).
Montrons que ϕ est une application : soient x ∈ H , y ∈ H ∩K tels que xy = x y .
Alors, x −1 x = yy −1 et yy −1 ∈ H ∩ K, d’où y = y et ϕ(xy) = ϕ(x y ). Montrons que ϕ est un morphisme de groupes : soient x, x ∈ H , y, y ∈ H ∩ K,
on a xyx y = xyx y −1 yy et yx y −1 ∈ H . D’où, en posant x 1 = yx y −1 , on a
ϕ(xyx y ) = ϕ(xx 1 yy ) = yy = yy = ϕ(xy)ϕ(x y ). Le morphisme ϕ est surjectif
par construction. On a xy ∈ Ker(ϕ) si et seulement si y ∈ (H ∩ K )(H ∩ K),
d’où Ker(ϕ) = H (H ∩ K ).
On fait la même démonstration pour le groupe K (H ∩ K)/K (H ∩ K).
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a) On dit que Σ est un raffinement de Σ, si p n et pour tout i,
0 i n, il existe j i , 0 j i p tel que G i = K j i (autrement dit, la suite Σ
est extraite de Σ ). On écrit alors Σ ⊆ Σ . Si, de plus, il existe j, 0 j p,
tel que pour tout i, 0 i n, K j = G i , on dit que Σ est un raffinement
propre de Σ. On écrit alors Σ ⊂ Σ .
b) On dit que les suites de composition Σ et Σ sont équivalentes si n = p
et s’il existe une permutation σ ∈ S n telle que, pour tout i, 0 i n − 1, les
groupes G i /G i+1 et K σ(i) /K σ(i)+1 soient isomorphes. On écrit alors Σ ∼ Σ .
Remarques - Exemples VII.1.1.
a) Tout groupe a une suite de composition {e} G.
b) La suite {e} K K V 4 A 4 S 4 est une suite de composition de S 4 (cf.
TR.II.B).
c) Une suite extraite d’une suite de composition peut ne pas être une suite de
composition (non transitivité des sous-groupes normaux).
Lemme VII.1.1. Soient H, H , K, K des sous-groupes d’un groupe G, tels que
H H et K K. On a
(i) H (H ∩ K ) H (H ∩ K), K (H ∩ K) K (H ∩ K)
(ii) H (H ∩ K)/H (H ∩ K ) K (H ∩ K)/K (H ∩ K).
Démonstration. L’assertion (i) est évidente. Pour démontrer l’assertion (ii),
on montre que chacun des deux groupes est isomorphe au groupe
(H ∩ K)/(H ∩ K )(H ∩ K). Pour cela, on va construire un morphisme surjectif de groupes
ϕ : H
(H ∩ K) −→ (H ∩ K)/(H ∩ K
)(H
∩ K)
et montrer que Ker(ϕ) = H (H ∩K ), d’où l’isomorphisme cherché. Soient x ∈ H ,
y ∈ H ∩ K ; posons ϕ(xy) = y, où y est la classe de y modulo (H ∩ K )(H ∩ K).
Montrons que ϕ est une application : soient x ∈ H , y ∈ H ∩K tels que xy = x y .
Alors, x −1 x = yy −1 et yy −1 ∈ H ∩ K, d’où y = y et ϕ(xy) = ϕ(x y ). Montrons que ϕ est un morphisme de groupes : soient x, x ∈ H , y, y ∈ H ∩ K,
on a xyx y = xyx y −1 yy et yx y −1 ∈ H . D’où, en posant x 1 = yx y −1 , on a
ϕ(xyx y ) = ϕ(xx 1 yy ) = yy = yy = ϕ(xy)ϕ(x y ). Le morphisme ϕ est surjectif
par construction. On a xy ∈ Ker(ϕ) si et seulement si y ∈ (H ∩ K )(H ∩ K),
d’où Ker(ϕ) = H (H ∩ K ).
On fait la même démonstration pour le groupe K (H ∩ K)/K (H ∩ K).
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