VII
GROUPES RÉSOLUBLES
La notion de groupe résoluble est centrale dans la caractérisation, au moyen de
la théorie de Galois, des équations polynomiales qui sont résolubles par radicaux,
comme on le verra au chapitre XVI.
VII.1. Suites de composition
Définitions VII.1.1. Soit G un groupe.
a) Une suite de composition de G est une suite finie de sous-groupes G i
de G, 0 i n, telle que
{e} = G n G n−1 · · · G i+1 G i · · · G 1 G 0 = G.
(On rappelle que la notation H H G signifie que H est un sous-groupe normal
de G.)
b) Les groupes quotients G i /G i+1 sont appelés les quotients de la suite
de composition et n est sa longueur (n est le nombre de quotients).
c) Si, pour tout i, 0 i n − 1, on a G i = G i+1 , on dit que la suite de
composition est strictement décroissante.
Définitions VII.1.2. Soient Σ et Σ deux suites de composition d’un groupe G :
Σ : {e} = G n G n−1 · · · G 1 G 0 = G
Σ : {e} = K p K p−1 · · · K 1 K 0 = G.
GROUPES RÉSOLUBLES
La notion de groupe résoluble est centrale dans la caractérisation, au moyen de
la théorie de Galois, des équations polynomiales qui sont résolubles par radicaux,
comme on le verra au chapitre XVI.
VII.1. Suites de composition
Définitions VII.1.1. Soit G un groupe.
a) Une suite de composition de G est une suite finie de sous-groupes G i
de G, 0 i n, telle que
{e} = G n G n−1 · · · G i+1 G i · · · G 1 G 0 = G.
(On rappelle que la notation H H G signifie que H est un sous-groupe normal
de G.)
b) Les groupes quotients G i /G i+1 sont appelés les quotients de la suite
de composition et n est sa longueur (n est le nombre de quotients).
c) Si, pour tout i, 0 i n − 1, on a G i = G i+1 , on dit que la suite de
composition est strictement décroissante.
Définitions VII.1.2. Soient Σ et Σ deux suites de composition d’un groupe G :
Σ : {e} = G n G n−1 · · · G 1 G 0 = G
Σ : {e} = K p K p−1 · · · K 1 K 0 = G.