Chapitre VII. Groupes résolubles
Réciproquement, supposons que le groupe G admette une suite de JordanHölder dont les quotients sont des groupes cycliques d’ordre premier : c’est une
suite de composition dont les quotients sont des groupes abéliens, donc G est
résoluble.
Corollaire VII.4.2. Si p est un nombre premier, tout p-groupe fini est résoluble.
Démonstration. C’est une conséquence du lemme suivant :
Lemme VII.4.1. Un groupe G d’ordre p n , où p est un nombre premier, admet une
suite de composition de longueur n, {e} = G 0 · · · G n = G, avec |G i | = p i .
Démonstration. On fait un raisonnement par récurrence sur n. Si n = 1, c’est
évident, puisque G est cyclique d’ordre premier. Supposons le résultat vrai pour
n − 1 et soit G un groupe d’ordre p n . On sait que G étant un p-groupe, son centre
Z(G) n’est pas réduit à {e}, (exercice IV.4). Le groupe Z(G) est d’ordre p m , il a
donc un sous-groupe H d’ordre p, normal dans G (puisque H ⊂ Z(G)). Le groupe
G/H est un p-groupe d’ordre p n−1 . Par hypothèse de récurrence, il admet une
suite de composition
{e} = H/H H G 1 /H H · · · G n /H = G/H
telle que |G i /H| = p i−1 . D’où, on a
{e} = G 0 G 1 · · · G n = G
avec |G i | = p i .
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