Algèbre T1
Les nombres congruents
Un entier naturel n non nul est « congruent » s’il s’écrit n =
XY
2 pour un
triplet pythagoricien rationnel (X, Y, Z) (i.e. X 2 + Y 2 = Z 2 , où X, Y et Z sont
trois nombres rationnels positifs non nuls). Géométriquement, il correspond à
l’aire d’un triangle rectangle dont les côtés sont rationnels.
On peut démontrer que les triplets pythagoriciens primitifs (i.e. X, Y et Z
sont entiers et premiers entre eux dans leur ensemble) sont paramétrés par les
couples (a, b) d’entiers premiers entre eux tels que a > b > 0 et le produit ab est
pair : à un tel couple correspond le triplet (a 2 − b 2 , 2ab, a 2 + b 2 ).
Enfin, la proposition suivante établit le lien entre nombres congruents et
courbes elliptiques :
Proposition 2. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) n =
XY
2 , pour un triplet pythagoricien rationnel (X, Y, Z).
(ii) La courbe elliptique E n donnée par l’équation y 2 = x 3 − n 2 x possède un point
rationnel distinct des solutions triviales (±n, 0), (0, 0) (qui correspondent aux
points d’ordre 2) et du point à l’infini.
(iii) Le rang de la courbe elliptique E n est strictement positif.
Le lecteur intéressé pourra consulter [15], chapitre I, paragraphes 2 et 9, pour une
preuve de ces affirmations.
☞ Quelques commandes Maple utiles :
igcd, even, sort, algsubs, normal.
10. Démontrer que tout nombre congruent n est de la forme n = s 2 m, où s ∈ Q ×
et m est un nombre congruent correspondant à un triplet pythagoricien
primitif. Avec les notations précédentes, faisant varier a et b entre 1 et 10,
dresser une liste de nombres congruents.
Remarque. Cela ne permet en rien de déterminer si un nombre donné n est
congruent : en effet, on ne sait pas à quel moment un m tel que n = s 2 m va
apparaître dans la liste. Par exemple, voyez-vous 31 dans la liste précédente ?
Nous allons pourtant démontrer qu’il est congruent.
11. Soit n un nombre congruent correspondant à un triplet pythagoricien
(X, Y, Z) ; vérifier par le calcul que (
Z 2
4 ,
(X 2 −Y 2 )Z
8
) est un point rationnel de
la courbe elliptique E n . Réciproquement, soit P = (x, y) un point rationnel de E n qui n’est pas d’ordre 2 ; vérifier que (
n 2 −x 2
y , −2
nx
y ,
n 2 +x 2
y ) est un
triplet pythagoricien (quitte à ajuster les signes) et que n est congruent.
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Les nombres congruents
Un entier naturel n non nul est « congruent » s’il s’écrit n =
XY
2 pour un
triplet pythagoricien rationnel (X, Y, Z) (i.e. X 2 + Y 2 = Z 2 , où X, Y et Z sont
trois nombres rationnels positifs non nuls). Géométriquement, il correspond à
l’aire d’un triangle rectangle dont les côtés sont rationnels.
On peut démontrer que les triplets pythagoriciens primitifs (i.e. X, Y et Z
sont entiers et premiers entre eux dans leur ensemble) sont paramétrés par les
couples (a, b) d’entiers premiers entre eux tels que a > b > 0 et le produit ab est
pair : à un tel couple correspond le triplet (a 2 − b 2 , 2ab, a 2 + b 2 ).
Enfin, la proposition suivante établit le lien entre nombres congruents et
courbes elliptiques :
Proposition 2. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) n =
XY
2 , pour un triplet pythagoricien rationnel (X, Y, Z).
(ii) La courbe elliptique E n donnée par l’équation y 2 = x 3 − n 2 x possède un point
rationnel distinct des solutions triviales (±n, 0), (0, 0) (qui correspondent aux
points d’ordre 2) et du point à l’infini.
(iii) Le rang de la courbe elliptique E n est strictement positif.
Le lecteur intéressé pourra consulter [15], chapitre I, paragraphes 2 et 9, pour une
preuve de ces affirmations.
☞ Quelques commandes Maple utiles :
igcd, even, sort, algsubs, normal.
10. Démontrer que tout nombre congruent n est de la forme n = s 2 m, où s ∈ Q ×
et m est un nombre congruent correspondant à un triplet pythagoricien
primitif. Avec les notations précédentes, faisant varier a et b entre 1 et 10,
dresser une liste de nombres congruents.
Remarque. Cela ne permet en rien de déterminer si un nombre donné n est
congruent : en effet, on ne sait pas à quel moment un m tel que n = s 2 m va
apparaître dans la liste. Par exemple, voyez-vous 31 dans la liste précédente ?
Nous allons pourtant démontrer qu’il est congruent.
11. Soit n un nombre congruent correspondant à un triplet pythagoricien
(X, Y, Z) ; vérifier par le calcul que (
Z 2
4 ,
(X 2 −Y 2 )Z
8
) est un point rationnel de
la courbe elliptique E n . Réciproquement, soit P = (x, y) un point rationnel de E n qui n’est pas d’ordre 2 ; vérifier que (
n 2 −x 2
y , −2
nx
y ,
n 2 +x 2
y ) est un
triplet pythagoricien (quitte à ajuster les signes) et que n est congruent.
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