Travaux pratiques
– E 3 : y 2 = x 3 − 43x + 166 (peut-on conclure sans déterminer un point
rationnel non-trivial ?).
9. À la vue du théorème de Mazur, suffit-il de connaître Card E(Q) tors pour
déterminer la structure de E(Q) tors ? Donner un critère permettant de trancher
les cas indécidables. On désire maintenant fournir un exemple pour chaque cas
possible.
La procédure transf(eq) ci-dessous transforme une équation longue
eq : y 2 + ay + bxy = x 3 + cx 2 + dx + e en une équation courte du type indiqué
dans notre définition d’une courbe elliptique. En fait, on applique successivement des transformations affines qui conservent la verticalité. On aurait pu
définir de la même manière une loi de groupe sur ces cubiques plus compliquées et les groupes de Mordell des courbes avant et après transformation sont
isomorphes.
>transf:=proc(eq) local F,a,b,c;
F:=-lhs(eq)+rhs(eq); a:=coeff(F,y);
if a<>0 then F:=expand(subs(y=y+a/2,F); fi;
b:=coeff(coeff(F,x),y);
if b<>0 then F:=expand(subs(y=y+b*x/2,F)); fi;
c:=coeff(F,x^2);
if c<>0 then F:=expand(subs(x=x-c/3,F)); fi;
return(y^2=sort(subs(y^2=0,F)));
end:
Calculer E(Q) tors dans les cas suivants :
– E 1 : y 2 + 7xy = x 3 + 16x ;
– E 2 : y 2 + xy − 5y = x 3 − 5x 2 ;
– E 3 : y 2 − y = x 3 − x 2 ;
– E 4 : y 2 + xy + y = x 3 − x 2 − 14x + 29 ;
– E 5 : y 2 + xy = x 3 − 45x + 81 ;
– E 6 : y 2 + 43xy − 210y = x 3 − 210x 2 ;
– E 7 : y 2 + 5xy − 6y = x 3 − 3x 2 ;
– E 8 : y 2 + 17xy − 120y = x 3 − 60x 2 .
On appliquera une dernière transformation du type x x/d 2 , y y/d 3 afin
de se ramener à une équation à coefficients entiers.
Au final, quels sont les cas du théorème de Mazur qui manquent à l’appel ? En
faisant varier les paramètres a et b, trouver des exemples.
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– E 3 : y 2 = x 3 − 43x + 166 (peut-on conclure sans déterminer un point
rationnel non-trivial ?).
9. À la vue du théorème de Mazur, suffit-il de connaître Card E(Q) tors pour
déterminer la structure de E(Q) tors ? Donner un critère permettant de trancher
les cas indécidables. On désire maintenant fournir un exemple pour chaque cas
possible.
La procédure transf(eq) ci-dessous transforme une équation longue
eq : y 2 + ay + bxy = x 3 + cx 2 + dx + e en une équation courte du type indiqué
dans notre définition d’une courbe elliptique. En fait, on applique successivement des transformations affines qui conservent la verticalité. On aurait pu
définir de la même manière une loi de groupe sur ces cubiques plus compliquées et les groupes de Mordell des courbes avant et après transformation sont
isomorphes.
>transf:=proc(eq) local F,a,b,c;
F:=-lhs(eq)+rhs(eq); a:=coeff(F,y);
if a<>0 then F:=expand(subs(y=y+a/2,F); fi;
b:=coeff(coeff(F,x),y);
if b<>0 then F:=expand(subs(y=y+b*x/2,F)); fi;
c:=coeff(F,x^2);
if c<>0 then F:=expand(subs(x=x-c/3,F)); fi;
return(y^2=sort(subs(y^2=0,F)));
end:
Calculer E(Q) tors dans les cas suivants :
– E 1 : y 2 + 7xy = x 3 + 16x ;
– E 2 : y 2 + xy − 5y = x 3 − 5x 2 ;
– E 3 : y 2 − y = x 3 − x 2 ;
– E 4 : y 2 + xy + y = x 3 − x 2 − 14x + 29 ;
– E 5 : y 2 + xy = x 3 − 45x + 81 ;
– E 6 : y 2 + 43xy − 210y = x 3 − 210x 2 ;
– E 7 : y 2 + 5xy − 6y = x 3 − 3x 2 ;
– E 8 : y 2 + 17xy − 120y = x 3 − 60x 2 .
On appliquera une dernière transformation du type x x/d 2 , y y/d 3 afin
de se ramener à une équation à coefficients entiers.
Au final, quels sont les cas du théorème de Mazur qui manquent à l’appel ? En
faisant varier les paramètres a et b, trouver des exemples.
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