Algèbre T1
3. On désire démontrer par le calcul formel l’associativité de la loi de groupe
ainsi définie (c’est d’ailleurs la seule vérification non triviale) et se donne donc
trois points P, Q et R de E, tous les paramètres étant assimilés à des variables
formelles. À l’aide des procédures somme1 et somme2 ainsi que de la procédure
de simplification suivante (consulter l’aide afin de comprendre son fonctionnement), démontrer le résultat :
>simplifier:=proc(expression) local temp,hyp1,hyp2,hyp3;
hyp1:=P[2]^2=P[1]^3+a*P[1]+b;
hyp2:=Q[2]^2=Q[1]^3+a*Q[1]+b;
hyp3:=R[2]^2=R[1]^3+a*R[1]+b;
temp:=normal(expression,expanded);
temp:=algsubs(hyp1,temp);
temp:=algsubs(hyp2,temp);
temp:=algsubs(hyp3,temp);
temp:=normal(temp);
return(temp);
end:
4. Reprenant l’exemple de la fin de la question 2, déterminer les points d’ordre
2 puis 3 dans E(Q), E(R) et E(C). Quelle conjecture faites-vous concernant
l’ordre de P = (−3, 9) ?
Calcul du groupe de Mordell
Le groupe de Mordell d’une courbe elliptique définie sur Q est le groupe E(Q)
de ses points rationnels.
Théorème 1 (Mordell). Le groupe E(Q) est un groupe abélien de type fini.
On peut donc écrire
E(Q) Z
r
⊕ E(Q) tors ,
où l’entier r est par définition le rang de la courbe elliptique et où E(Q) tors
désigne le sous-groupe de torsion. Si le calcul du rang est difficile en pratique, la
détermination de E(Q) tors est aisée, à l’aide du :
Théorème 2 (Nagell-Lutz). Soit E une courbe elliptique définie sur Q par une équation y 2 = x 3 + ax + b, où a et b sont deux entiers relatifs, et soit P = O un point
rationnel. Alors P = (x, y) a des coordonnées entières vérifiant ou bien y = 0 ou
bien y 2 | Δ = 4a 3 + 27b 2 .
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3. On désire démontrer par le calcul formel l’associativité de la loi de groupe
ainsi définie (c’est d’ailleurs la seule vérification non triviale) et se donne donc
trois points P, Q et R de E, tous les paramètres étant assimilés à des variables
formelles. À l’aide des procédures somme1 et somme2 ainsi que de la procédure
de simplification suivante (consulter l’aide afin de comprendre son fonctionnement), démontrer le résultat :
>simplifier:=proc(expression) local temp,hyp1,hyp2,hyp3;
hyp1:=P[2]^2=P[1]^3+a*P[1]+b;
hyp2:=Q[2]^2=Q[1]^3+a*Q[1]+b;
hyp3:=R[2]^2=R[1]^3+a*R[1]+b;
temp:=normal(expression,expanded);
temp:=algsubs(hyp1,temp);
temp:=algsubs(hyp2,temp);
temp:=algsubs(hyp3,temp);
temp:=normal(temp);
return(temp);
end:
4. Reprenant l’exemple de la fin de la question 2, déterminer les points d’ordre
2 puis 3 dans E(Q), E(R) et E(C). Quelle conjecture faites-vous concernant
l’ordre de P = (−3, 9) ?
Calcul du groupe de Mordell
Le groupe de Mordell d’une courbe elliptique définie sur Q est le groupe E(Q)
de ses points rationnels.
Théorème 1 (Mordell). Le groupe E(Q) est un groupe abélien de type fini.
On peut donc écrire
E(Q) Z
r
⊕ E(Q) tors ,
où l’entier r est par définition le rang de la courbe elliptique et où E(Q) tors
désigne le sous-groupe de torsion. Si le calcul du rang est difficile en pratique, la
détermination de E(Q) tors est aisée, à l’aide du :
Théorème 2 (Nagell-Lutz). Soit E une courbe elliptique définie sur Q par une équation y 2 = x 3 + ax + b, où a et b sont deux entiers relatifs, et soit P = O un point
rationnel. Alors P = (x, y) a des coordonnées entières vérifiant ou bien y = 0 ou
bien y 2 | Δ = 4a 3 + 27b 2 .
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