Travaux pratiques
La preuve se fait en deux temps : on montre qu’un point d’ordre fini a des
coordonnées entières, puis on utilise le lemme suivant :
Lemme 1. Soit P = (x, y) ∈ E(Q) tel que P et 2P sont à coordonnées entières.
Alors y = 0 ou y | Δ.
Alternativement, le résultat suivant peut s’avérer pertinent dans certains cas :
Proposition 1. Soit p un nombre premier ne divisant pas 2Δ et ¯
E la réduction de
E modulo p, i.e. la courbe elliptique sur F p définie par l’équation y 2 = x 3 + ¯
ax + ¯ b.
Alors l’application de réduction (x, y) → (¯ x, ¯
y) définit un morphisme de groupes
E(Q) → ¯
E(F p ) dont la restriction à E(Q) tors est injective.
En d’autres termes, E(Q) tors s’identifie, via le morphisme de réduction, à un
sous-groupe de ¯
E(F p ) ; en particulier, Card E(Q) tors divise Card ¯
E(F p ).
Enfin, la structure de E(Q) tors n’est pas arbitraire :
Théorème 3 (Mazur). Le groupe de Mordell d’une courbe elliptique définie sur Q
est isomorphe à l’un des groupes abstraits suivants :
Z/nZ (1 n 10), Z/12Z, Z/2Z × Z/2nZ (1 n 4).
Le lecteur intéressé pourra consulter [26], chapitre II, pour une preuve du
théorème de Nagell-Lutz et loc. cit. chapitre III pour une preuve du théorème de
Mordell. Par contre, la démonstration du théorème de Mazur est hors de portée.
☞ Quelques commandes Maple utiles : type, integer, ifactor, subs.
5. Écrire des procédures appartmodp(E,P,p) et sommemodp(E,P,Q,p) qui respectivement vérifient si P ∈ ¯
E(F p ) et renvoient P + Q, calculé dans ¯
E(F p ) (on
modifiera de façon adéquate les programmes de la question 1).
Écrire ensuite une procédure ordremodp(E,P,p) qui donne l’ordre de P dans
¯
E(F p ). Enfin, sachant que la commande numtheory[msqrt](y,p) renvoie un
entier x tel que x 2 ≡ y mod p ou FAIL si c’est impossible, écrire une procédure
pointsmodp(E,p) donnant la liste
[N,[[O,1],[[x1,y1],r1],...,[[xn,yn],rn]]]
des N éléments de ¯
E(F p ), qui sont, outre O (d’ordre 1), les (x i , y i ), d’ordre r i .
Tester avec l’exemple de la question 2 et déterminer ¯
E(F 5 ) ; quelle est la structure de ce groupe fini ?
171
La preuve se fait en deux temps : on montre qu’un point d’ordre fini a des
coordonnées entières, puis on utilise le lemme suivant :
Lemme 1. Soit P = (x, y) ∈ E(Q) tel que P et 2P sont à coordonnées entières.
Alors y = 0 ou y | Δ.
Alternativement, le résultat suivant peut s’avérer pertinent dans certains cas :
Proposition 1. Soit p un nombre premier ne divisant pas 2Δ et ¯
E la réduction de
E modulo p, i.e. la courbe elliptique sur F p définie par l’équation y 2 = x 3 + ¯
ax + ¯ b.
Alors l’application de réduction (x, y) → (¯ x, ¯
y) définit un morphisme de groupes
E(Q) → ¯
E(F p ) dont la restriction à E(Q) tors est injective.
En d’autres termes, E(Q) tors s’identifie, via le morphisme de réduction, à un
sous-groupe de ¯
E(F p ) ; en particulier, Card E(Q) tors divise Card ¯
E(F p ).
Enfin, la structure de E(Q) tors n’est pas arbitraire :
Théorème 3 (Mazur). Le groupe de Mordell d’une courbe elliptique définie sur Q
est isomorphe à l’un des groupes abstraits suivants :
Z/nZ (1 n 10), Z/12Z, Z/2Z × Z/2nZ (1 n 4).
Le lecteur intéressé pourra consulter [26], chapitre II, pour une preuve du
théorème de Nagell-Lutz et loc. cit. chapitre III pour une preuve du théorème de
Mordell. Par contre, la démonstration du théorème de Mazur est hors de portée.
☞ Quelques commandes Maple utiles : type, integer, ifactor, subs.
5. Écrire des procédures appartmodp(E,P,p) et sommemodp(E,P,Q,p) qui respectivement vérifient si P ∈ ¯
E(F p ) et renvoient P + Q, calculé dans ¯
E(F p ) (on
modifiera de façon adéquate les programmes de la question 1).
Écrire ensuite une procédure ordremodp(E,P,p) qui donne l’ordre de P dans
¯
E(F p ). Enfin, sachant que la commande numtheory[msqrt](y,p) renvoie un
entier x tel que x 2 ≡ y mod p ou FAIL si c’est impossible, écrire une procédure
pointsmodp(E,p) donnant la liste
[N,[[O,1],[[x1,y1],r1],...,[[xn,yn],rn]]]
des N éléments de ¯
E(F p ), qui sont, outre O (d’ordre 1), les (x i , y i ), d’ordre r i .
Tester avec l’exemple de la question 2 et déterminer ¯
E(F 5 ) ; quelle est la structure de ce groupe fini ?
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