Travaux pratiques
☞ Quelques commandes Maple utiles : expand, collect, coeff.
1. Vérifier que l’allure de E(R) correspond à celle des dessins ci-dessus (du moins
lorsque x 3 + ax + b possède trois racines réelles, sinon il n’y aura qu’une seule
composante connexe). Quelle hypothèse permet d’affirmer que la tangente est
toujours définie ? Quelles sont les coordonnées de −P , où P = (x, y) ?
Soient P et Q deux points de E qui, s’ils ne coïncident pas avec O, seront de
coordonnées respectives (x 1 , y 1 ) et (x 2 , y 2 ). On désire calculer la somme P +Q,
de coordonnées (x 3 , y 3 ) lorsque P + Q = O. Pour cela, on note α la pente de
la droite (P Q) ou de la tangente en P si Q = P . Écrire le polynôme de degré
3 dont les x i sont les trois racines ; en déduire x 3 à l’aide des relations entre
coefficients et racines.
Finalement :
– Cas triviaux : P + O = P , O + Q = Q, O + O = O ; on suppose désormais
P = O et Q = O.
– Si x 1 = x 2 (i.e. Q ∈ {P, −P }) :
x 3 = α
2
− x 1 − x 2
y 3 = −y 1 + α(x 1 − x 3 )
où α =
y 2 − y 1
x 2 − x 1
·
(1)
– Si x 1 = x 2 et y 1 = −y 2 (i.e. Q = P ) :
x 3 = α
2
− 2x 1
y 3 = −y 1 + α(x 1 − x 3 )
où α =
3x 2
1 + a
2y 1
·
(2)
– Si x 1 = x 2 et y 1 = −y 2 (i.e. Q = −P ), alors P + Q = O.
2. Afin d’implémenter la loi de groupe, on définit un point P par la liste P:=[x,y]
de ses coordonnées si P = O et l’on représente le point à l’infini O par le
symbole O. La courbe elliptique E sera définie par le couple E:=[a,b].
Écrire une procédure appart(E,P) testant si le point P appartient à E ainsi
que deux précédures somme1(E,P,Q) et somme2(E,P) renvoyant P + Q calculé avec les formules (1) et (2) respectivement. Enfin, écrire une procédure
somme(E,P,Q) renvoyant O si P + Q = O et les coordonnées de P + Q sinon
(on prendra soin de traiter tous les cas de figure et de procéder au préalable
aux vérifications qui s’imposent).
Tester avec E : y 2 = x 3 − 36x, P = (−3, 9), Q = (−2, 8) et calculer P + Q,
2P et 2Q. On doit trouver (6, 0), (
25
4 ,
−35
8 ) et (
25
4 ,
35
8 ) respectivement. Que
remarquez-vous concernant 2P et 2Q ?
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☞ Quelques commandes Maple utiles : expand, collect, coeff.
1. Vérifier que l’allure de E(R) correspond à celle des dessins ci-dessus (du moins
lorsque x 3 + ax + b possède trois racines réelles, sinon il n’y aura qu’une seule
composante connexe). Quelle hypothèse permet d’affirmer que la tangente est
toujours définie ? Quelles sont les coordonnées de −P , où P = (x, y) ?
Soient P et Q deux points de E qui, s’ils ne coïncident pas avec O, seront de
coordonnées respectives (x 1 , y 1 ) et (x 2 , y 2 ). On désire calculer la somme P +Q,
de coordonnées (x 3 , y 3 ) lorsque P + Q = O. Pour cela, on note α la pente de
la droite (P Q) ou de la tangente en P si Q = P . Écrire le polynôme de degré
3 dont les x i sont les trois racines ; en déduire x 3 à l’aide des relations entre
coefficients et racines.
Finalement :
– Cas triviaux : P + O = P , O + Q = Q, O + O = O ; on suppose désormais
P = O et Q = O.
– Si x 1 = x 2 (i.e. Q ∈ {P, −P }) :
x 3 = α
2
− x 1 − x 2
y 3 = −y 1 + α(x 1 − x 3 )
où α =
y 2 − y 1
x 2 − x 1
·
(1)
– Si x 1 = x 2 et y 1 = −y 2 (i.e. Q = P ) :
x 3 = α
2
− 2x 1
y 3 = −y 1 + α(x 1 − x 3 )
où α =
3x 2
1 + a
2y 1
·
(2)
– Si x 1 = x 2 et y 1 = −y 2 (i.e. Q = −P ), alors P + Q = O.
2. Afin d’implémenter la loi de groupe, on définit un point P par la liste P:=[x,y]
de ses coordonnées si P = O et l’on représente le point à l’infini O par le
symbole O. La courbe elliptique E sera définie par le couple E:=[a,b].
Écrire une procédure appart(E,P) testant si le point P appartient à E ainsi
que deux précédures somme1(E,P,Q) et somme2(E,P) renvoyant P + Q calculé avec les formules (1) et (2) respectivement. Enfin, écrire une procédure
somme(E,P,Q) renvoyant O si P + Q = O et les coordonnées de P + Q sinon
(on prendra soin de traiter tous les cas de figure et de procéder au préalable
aux vérifications qui s’imposent).
Tester avec E : y 2 = x 3 − 36x, P = (−3, 9), Q = (−2, 8) et calculer P + Q,
2P et 2Q. On doit trouver (6, 0), (
25
4 ,
−35
8 ) et (
25
4 ,
35
8 ) respectivement. Que
remarquez-vous concernant 2P et 2Q ?
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