Travaux pratiques
torsion E(Q) tors . C’est l’occasion d’illustrer par des exemples (guère accessibles
à la main) des énoncés célèbres. Enfin, on s’intéressera au problème des nombres
congruents (ce sont les entiers s’interprétant comme l’aire d’un triangle rectangle
dont les trois côtés sont rationnels), qui, de manière assez inattendue a priori, est
relié au calcul du rang du groupe E(Q) pour certaines courbes elliptiques.
La loi de groupe sur une courbe elliptique
Soit k un corps de caractéristique différente de 2 et 3. Une courbe elliptique
E définie sur k est une cubique d’équation y 2 = x 3 + ax + b (1) , où le polynôme x 3 + ax + b ∈ k[x] n’a que des racines simples, i.e. est de discriminant
Δ = 4a 3 + 27b 2 = 0. Pour tout corps K contenant k, on note E(K) l’ensemble
des points P = (x, y) dont les coordonnées sont solutions dans K de l’équation E,
auquel on rajoute un point, noté O. Ce point est nécessaire afin de munir E(K)
d’une loi de groupe, notée + (elle est commutative), dont O sera le neutre. La
somme P + Q de deux points est définie géométriquement comme suit :
– Cas P = Q :
Traçons la droite L 1
passant par P et Q ;
I est le troisième
point sur E ∩ L 1 .
I
P
Q
t
t
t
L 1
Soit L 2 la droite verticale
passant par I.
Alors P + Q est
l’autre point
sur E ∩ L 2 .
L 2
Q
I
P + Q
P
t
t
t
t
L 1
(1) Il existe une définition plus générale, mais nous nous contenterons de celle-ci afin de simplifier
l’exposition. En caractéristique 3, on considère des équations du type y
2 = x
3 + ax
2 + bx + c.
En caractéristique 2, il faut prendre y
2 + cy = x
3 + ax + b ainsi que y
2 + xy = x
3 + ax
2 + b.
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