Algèbre T1
Théorème 1. Toute matrice A de M m,n (Z) est équivalente à une matrice A qui est
sous F NS.
Nous allons voir que ce résultat implique l’existence des facteurs invariants.
De l’unicité de ces derniers découle alors l’unicité de la forme normale de Smith
(matrice A ).
☞ Commande Maple utile : SmithForm de la librairie LinearAlgebra est
l’implémentation de l’algorithme de Smith.
8. Soit G un groupe abélien libre de rang fini m et H un sous-groupe de
G. Soit (C 1 , . . . , C n ) un système de générateurs de H et φ : Z n → G le
morphisme qui envoie (x j ) sur
n
j=1 x j C j . On note A ∈ M m,n (Z) la matrice
de φ après choix d’une base (e i ) de G, prenant pour Z n la base canonique.
Comment déduisez-vous du théorème précédent une base (e
i ) de G telle que
H = ⊕ r
i=1 d i e
i ? En d’autres termes, nous venons de déterminer les facteurs
invariants de H dans G et G/H ⊕ r
i=1 Z/d i Z ⊕ Z m−r .
9. Calculer P , Q et A en prenant pour A la matrice C de la question 5 et
vérifier que A = P AQ. Trouver les facteurs invariants du sous-groupe H de
Z 5 engendré par les vecteurs colonnes de C et déterminer la structure du
quotient Z 5 /H.
10. Soit G le groupe abélien défini par générateurs et relations :
G = {a, b, c}|5a + b − 2c, 12a − 6b + 5c.
Déterminer la structure de G.
11. Résoudre l’équation en entiers AX = B, où A est la matrice C de la question 5 et B =
11
−18
4
9
13
.
TP.VI.B. Courbes elliptiques et groupe de Mordell
Les courbes elliptiques sont des objets mathématiques très riches, à la fois du
point de vue théorique (ils interviennent dans la preuve du fameux théorème de
Fermat) et des applications pratiques (factorisation des entiers, cryptographie, ...).
De plus, ces objets se prêtent aux calculs.
Nous allons, dans ce TP, nous intéresser au groupe de Mordell E(Q) des points
rationnels d’une courbe elliptique définie sur Q. C’est un groupe abélien de type
fini dont il est aisé de calculer, grâce au théorème de Nagell-Lutz, la partie de
166
Théorème 1. Toute matrice A de M m,n (Z) est équivalente à une matrice A qui est
sous F NS.
Nous allons voir que ce résultat implique l’existence des facteurs invariants.
De l’unicité de ces derniers découle alors l’unicité de la forme normale de Smith
(matrice A ).
☞ Commande Maple utile : SmithForm de la librairie LinearAlgebra est
l’implémentation de l’algorithme de Smith.
8. Soit G un groupe abélien libre de rang fini m et H un sous-groupe de
G. Soit (C 1 , . . . , C n ) un système de générateurs de H et φ : Z n → G le
morphisme qui envoie (x j ) sur
n
j=1 x j C j . On note A ∈ M m,n (Z) la matrice
de φ après choix d’une base (e i ) de G, prenant pour Z n la base canonique.
Comment déduisez-vous du théorème précédent une base (e
i ) de G telle que
H = ⊕ r
i=1 d i e
i ? En d’autres termes, nous venons de déterminer les facteurs
invariants de H dans G et G/H ⊕ r
i=1 Z/d i Z ⊕ Z m−r .
9. Calculer P , Q et A en prenant pour A la matrice C de la question 5 et
vérifier que A = P AQ. Trouver les facteurs invariants du sous-groupe H de
Z 5 engendré par les vecteurs colonnes de C et déterminer la structure du
quotient Z 5 /H.
10. Soit G le groupe abélien défini par générateurs et relations :
G = {a, b, c}|5a + b − 2c, 12a − 6b + 5c.
Déterminer la structure de G.
11. Résoudre l’équation en entiers AX = B, où A est la matrice C de la question 5 et B =
11
−18
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TP.VI.B. Courbes elliptiques et groupe de Mordell
Les courbes elliptiques sont des objets mathématiques très riches, à la fois du
point de vue théorique (ils interviennent dans la preuve du fameux théorème de
Fermat) et des applications pratiques (factorisation des entiers, cryptographie, ...).
De plus, ces objets se prêtent aux calculs.
Nous allons, dans ce TP, nous intéresser au groupe de Mordell E(Q) des points
rationnels d’une courbe elliptique définie sur Q. C’est un groupe abélien de type
fini dont il est aisé de calculer, grâce au théorème de Nagell-Lutz, la partie de
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