Algèbre T1
Par exemple, le quotient par Z du groupe
{(r/s) | r ∈ Z, s ∈ Z, (r, s) = 1, ∃n ∈ N
∗ , s = p
n
}
où la loi est l’addition usuelle des rationnels, est un p ∞ -groupe. (Le vérifier.)
7. Montrer que si H est un sous-groupe cyclique d’ordre maximum d’un p-groupe,
alors H est facteur direct dans G.
8. Montrer que si G est un p-groupe tel que pG = G, alors G a un p ∞ -sousgroupe. (L’hypothèse entraîne qu’il existe dans G une suite d’éléments x i tels que
px i = x i−1 , avec px 1 = 0, chaque x i étant d’ordre p i . On montrera alors que
l’application définie par f (r/p i ) = rx i , induit un morphisme injectif de groupes
de Q/Z(p) dans G.)
9. Montrer que si G est un groupe qui n’est pas sans torsion, il admet un facteur
direct qui est un groupe cyclique d’ordre une puissance d’un nombre premier, ou
qui est un p ∞ -groupe, pour un certain nombre premier p.
10. En déduire que si G est un p-groupe divisible, il est somme directe de p ∞ -
groupes.
On déduit donc qu’un groupe abélien divisible G est somme directe de groupes
qui sont isomorphes à Q, ou à des p ∞ -groupes pour les nombres premiers p correspondant aux composantes p-primaires de G.
♣ TR.VI.C. Calcul des facteurs invariants
Soient G un groupe abélien libre de rang n et H un sous-groupe de G. On
va donner ici un algorithme de calcul des facteurs invariants de H dans G (cf.
(théorème VI.4.1)).
Notons a 1 , . . . , a q ces facteurs invariants. Pour déterminer les a i , 1 i q, il
suffit de connaître les produits a 1 a 2 . . . a k pour tout k, 1 k q. D’autre part,
puisque a 1 |a 2 | . . . |a q , quels que soient les entiers 1 j 1 < . . . < j k q, l’élément
a 1 . . . a k divise l’élément a j 1 . . . a j k .
On fixe un entier k, 1 k q.
1. Montrer que, pour toute application k-linéaire alternée f définie sur G à valeurs
dans Z et quels que soient x 1 , . . . , x k éléments de H, le produit a 1 . . . a k divise
f (x 1 , . . . , x k ).
2. Montrer que l’on peut choisir f et x 1 , . . . , x k tels que a 1 . . . a k = f (x 1 , . . . , x k ).
3. En déduire que a 1 . . . a k est un pgcd d’éléments de Z qui sont de la forme
f (x 1 , . . . , x k ), x i ∈ H, 1 i k.
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Par exemple, le quotient par Z du groupe
{(r/s) | r ∈ Z, s ∈ Z, (r, s) = 1, ∃n ∈ N
∗ , s = p
n
}
où la loi est l’addition usuelle des rationnels, est un p ∞ -groupe. (Le vérifier.)
7. Montrer que si H est un sous-groupe cyclique d’ordre maximum d’un p-groupe,
alors H est facteur direct dans G.
8. Montrer que si G est un p-groupe tel que pG = G, alors G a un p ∞ -sousgroupe. (L’hypothèse entraîne qu’il existe dans G une suite d’éléments x i tels que
px i = x i−1 , avec px 1 = 0, chaque x i étant d’ordre p i . On montrera alors que
l’application définie par f (r/p i ) = rx i , induit un morphisme injectif de groupes
de Q/Z(p) dans G.)
9. Montrer que si G est un groupe qui n’est pas sans torsion, il admet un facteur
direct qui est un groupe cyclique d’ordre une puissance d’un nombre premier, ou
qui est un p ∞ -groupe, pour un certain nombre premier p.
10. En déduire que si G est un p-groupe divisible, il est somme directe de p ∞ -
groupes.
On déduit donc qu’un groupe abélien divisible G est somme directe de groupes
qui sont isomorphes à Q, ou à des p ∞ -groupes pour les nombres premiers p correspondant aux composantes p-primaires de G.
♣ TR.VI.C. Calcul des facteurs invariants
Soient G un groupe abélien libre de rang n et H un sous-groupe de G. On
va donner ici un algorithme de calcul des facteurs invariants de H dans G (cf.
(théorème VI.4.1)).
Notons a 1 , . . . , a q ces facteurs invariants. Pour déterminer les a i , 1 i q, il
suffit de connaître les produits a 1 a 2 . . . a k pour tout k, 1 k q. D’autre part,
puisque a 1 |a 2 | . . . |a q , quels que soient les entiers 1 j 1 < . . . < j k q, l’élément
a 1 . . . a k divise l’élément a j 1 . . . a j k .
On fixe un entier k, 1 k q.
1. Montrer que, pour toute application k-linéaire alternée f définie sur G à valeurs
dans Z et quels que soient x 1 , . . . , x k éléments de H, le produit a 1 . . . a k divise
f (x 1 , . . . , x k ).
2. Montrer que l’on peut choisir f et x 1 , . . . , x k tels que a 1 . . . a k = f (x 1 , . . . , x k ).
3. En déduire que a 1 . . . a k est un pgcd d’éléments de Z qui sont de la forme
f (x 1 , . . . , x k ), x i ∈ H, 1 i k.
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