Thèmes de réflexion
Il est clair que le groupe (Q, +) est divisible et que (Z, +) ne l’est pas.
Nous allons d’abord étudier quelques propriétés des sous-groupes divisibles
d’un groupe, puis nous établirons un théorème de structure des groupes divisibles.
1. Soit G un groupe ; montrer que les sous-groupes divisibles de G engendrent un
sous-groupe divisible maximal.
2. Montrer que tout sous-groupe divisible D d’un groupe G est en facteur direct
dans G. (On utilisera le lemme de Zorn (cf. appendice) pour montrer qu’il existe
un sous-groupe maximal H de G tel que H ∩ D = {0}.)
Un groupe est dit réduit s’il ne possède par de sous-groupe divisible différent
de {0}.
3. Montrer que tout groupe G s’écrit G = D ⊕ R, où D est un groupe divisible
et R est un groupe réduit.
4. Montrer que tout facteur direct d’un groupe divisible est un groupe divisible.
On sait que tout groupe abélien G est somme directe d’un groupe sans torsion
et de son sous-groupe de torsion. Compte tenu de ce qui précède, pour étudier
la structure des groupes divisibles, il suffit d’étudier les groupes divisibles sans
torsion et les groupes divisibles de torsion.
Comme, de plus, un groupe de torsion est somme directe de ses composantes
p-primaires, pour étudier les groupes divisibles de torsion, il suffit d’étudier les
p-groupes divisibles.
Étude des groupes divisibles sans torsion
On remarquera que si G est un groupe sans torsion, si nx = ny, où n ∈ N ∗ et
x, y ∈ G, alors x = y.
On considère un groupe G divisible et sans torsion.
5. Montrer que pour tout élément x = 0 de G, il existe un unique morphisme
injectif de groupes f : Q → G tel que f (1) = x.
6. Déduire de ce qui précède que G est isomorphe à une somme directe de groupes
qui sont tous isomorphes à Q.
Étude des p-groupes divisibles
On note Q/Z(p) le groupe des nombres rationnels r, avec 0 r < 1, qui
s’écrivent r = k/p n pour des entiers k et n, la loi étant l’addition modulo 1.
(Vérifier que c’est un groupe.)
Un groupe isomorphe au groupe Q/Z(p) est appelé un p ∞ -groupe.
157
Il est clair que le groupe (Q, +) est divisible et que (Z, +) ne l’est pas.
Nous allons d’abord étudier quelques propriétés des sous-groupes divisibles
d’un groupe, puis nous établirons un théorème de structure des groupes divisibles.
1. Soit G un groupe ; montrer que les sous-groupes divisibles de G engendrent un
sous-groupe divisible maximal.
2. Montrer que tout sous-groupe divisible D d’un groupe G est en facteur direct
dans G. (On utilisera le lemme de Zorn (cf. appendice) pour montrer qu’il existe
un sous-groupe maximal H de G tel que H ∩ D = {0}.)
Un groupe est dit réduit s’il ne possède par de sous-groupe divisible différent
de {0}.
3. Montrer que tout groupe G s’écrit G = D ⊕ R, où D est un groupe divisible
et R est un groupe réduit.
4. Montrer que tout facteur direct d’un groupe divisible est un groupe divisible.
On sait que tout groupe abélien G est somme directe d’un groupe sans torsion
et de son sous-groupe de torsion. Compte tenu de ce qui précède, pour étudier
la structure des groupes divisibles, il suffit d’étudier les groupes divisibles sans
torsion et les groupes divisibles de torsion.
Comme, de plus, un groupe de torsion est somme directe de ses composantes
p-primaires, pour étudier les groupes divisibles de torsion, il suffit d’étudier les
p-groupes divisibles.
Étude des groupes divisibles sans torsion
On remarquera que si G est un groupe sans torsion, si nx = ny, où n ∈ N ∗ et
x, y ∈ G, alors x = y.
On considère un groupe G divisible et sans torsion.
5. Montrer que pour tout élément x = 0 de G, il existe un unique morphisme
injectif de groupes f : Q → G tel que f (1) = x.
6. Déduire de ce qui précède que G est isomorphe à une somme directe de groupes
qui sont tous isomorphes à Q.
Étude des p-groupes divisibles
On note Q/Z(p) le groupe des nombres rationnels r, avec 0 r < 1, qui
s’écrivent r = k/p n pour des entiers k et n, la loi étant l’addition modulo 1.
(Vérifier que c’est un groupe.)
Un groupe isomorphe au groupe Q/Z(p) est appelé un p ∞ -groupe.
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