Algèbre T1
On note Z (X) le groupe abélien libre de base X,
j X : X X→ Z
(X) et i X : X X→ L(X)
les inclusions canoniques, π : L(X) → L(X)/D(L(X)) la projection canonique.
2. Montrer qu’il existe un unique morphisme de groupes
ϕ : L(X) → Z
(X)
tel que ϕ ◦ i x = j X . (Propriété universelle du groupe libre (théorème III.1.2).)
3. En déduire qu’il existe un morphisme de groupes
ψ : L(X)/D(L(X)) → Z
(X)
tel que ψ ◦ π = ϕ. (Théorème de passage au quotient, théorème (II.6.2) ou remarque (II.6.1).)
4. Montrer qu’il existe un unique morphisme de groupes
α : Z
(X)
→ L(X)/D(L(X))
tel que α ◦ j x = π ◦ i X . (Propriété universelle du groupe abélien libre, théorème (VI.2.2).)
5. Montrer que ψ et α sont des isomorphismes réciproques l’un de l’autre.
6. En déduire que X | [x, y], x ∈ X, y ∈ Y est une présentation par générateurs
et relations du groupe abélien libre de base X.
Soient X et Y deux ensembles tels que les groupes libres L(X) et L(Y ) soient
isomorphes.
7. Montrer que les groupes L(X)/D(L(X)) et L(Y )/D(L(Y )) sont isomorphes.
8. Déduire de ce qui précède que les groupes abéliens Z (X) et Z (Y ) sont isomorphes
et que les ensembles X et Y sont équipotents.
♠ TR.VI.B. Groupes divisibles
Tous les groupes considérés ici sont abéliens. Leur loi est notée additivement
et l’élément neutre est noté 0.
Un groupe abélien G est dit divisible si, pour tout élément x de G et tout n
de N ∗ , il existe un élément y de G tel que x = ny.
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