THÈMES DE RÉFLEXION
♣ TR.VI.A. Rang d’un groupe libre
Nous allons, dans cette partie, montrer des résultats concernant les groupes
libres non abéliens évoqués dans le chapitre III, et plus particulièrement, la réciproque du théorème (III.1.3) :
Soient X et Y deux ensembles. Si les groupes libres L(X) et L(Y ) sont isomorphes, alors les ensembles X et Y sont équipotents.
La raison d’être de cette étude concernant des groupes non abéliens dans le
chapitre consacré aux groupes abéliens est que, par abélianisation, nous passerons
à des groupes abéliens et nous utiliserons alors des résultats concernant les groupes
abéliens.
Nous allons, pour la commodité du lecteur, faire quelques rappels de notions
étudiées au TR.II.A.
Soit G un groupe ; pour tous x et y éléments de G, on pose [x, y] = xyx −1 y −1 .
Cet élément de G est appelé commutateur de x et y. On remarquera que le
groupe G est abélien si et seulement si, pour tous x et y éléments de G, on a
[x, y] = 1.
On note D(G) le sous-groupe de G engendré par les commutateurs [x, y] pour
x et y parcourant G et on l’appelle sous-groupe dérivé de G.
Le sous-groupe D(G) est normal dans G et le groupe G/D(G) est abélien. Si
H est un sous-groupe normal de G, le groupe G/H est abélien si et seulement si
D(G) ⊆ H.
Soient X un ensemble et L(X) le groupe libre de base X (cf. chapitre III).
On considère le groupe G donné par générateurs et relations :
G X | [x, y], x ∈ X, y ∈ Y .
1. Montrer que le groupe G est isomorphe au groupe L(X)/D(L(X)).