Thèmes de réflexion
Ces résultats fournissent un algorithme de calcul des facteurs invariants, de la
manière suivante.
Soient y 1 , . . . , y n une base quelconque de G et x 1 , . . . , x p un système de générateurs de H. On note A la matrice dont la j ème -colonne est formée des composantes
de x j dans la base y 1 , . . . , y n , 1 j p.
4. Montrer que a 1 . . . a k , 1 k q, est le pgcd des mineurs d’ordre k de la
matrice A.
Application aux matrices équivalentes
On rappelle que deux matrices A et B à coefficients dans un anneau R sont
équivalentes s’il existe des matrices inversibles U et V à coefficients dans R telles
que B = UAV .
5. Soit A une matrice à coefficients dans Z, à n lignes et p colonnes. Montrer qu’il
existe des matrices inversibles U et V , à coefficients dans Z, telles que
UAV =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a 1 0 · · · 0 0 · · · 0
0 a 2 · · · 0 0 · · · 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0 · · · a q 0 · · · 0
0 0 · · · 0 0 · · · 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0 · · · 0 0 · · · 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
où les a i sont des nombres entiers positifs tels que a 1 |a 2 | . . . |a q .
Les nombres a i , 1 i q, sont appelés les facteurs invariants de la matrice A.
6. En déduire que deux matrices A et B à coefficients dans Z sont équivalentes si
et seulement si elles ont même rang et mêmes facteurs invariants.
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