Chapitre VI. Groupes abéliens
Définition VI.4.3. Soit G un groupe abélien fini. En écrivant les diviseurs élémentaires de G dans l’ordre croissant, chacun d’entre eux étant écrit un nombre
de fois égal au nombre de fois où il apparaît dans l’écriture des facteurs invariants de G, on obtient une suite finie de nombres entiers qu’on appelle le
type de G.
Remarque VI.4.1. Lorsqu’on a le type d’un groupe abélien fini G, le nombre maximum d’occurrences d’un même facteur premier de |G| qui apparaît dans le type
donne le nombre de facteurs invariants de G.
Conclusion
Soit G un groupe abélien fini. On détermine ses facteurs invariants (cf.
TR.VI.C) (a i ) 1iq et on en déduit sa décomposition canonique
G
1iq
Z/a i Z.
On calcule ses diviseurs élémentaires, qui permettent de déterminer le type
(c 1 , . . . , c s ), et on a
G
1is
Z/c i Z.
De plus, en regroupant dans cette dernière somme directe les termes correspondant
à un même facteur premier p de |G|, on a la décomposition en somme directe de
la composante p-primaire G(p).
Ceci peut se résumer sous forme d’un tableau. Soit G un groupe abélien fini,
|G| = p
t 1
1 . . . p
t k
k la décomposition de son ordre en facteurs premiers, a 1 , . . . , a q ses
facteurs invariants, d i,j = p
w i,j
j
ses diviseurs élémentaires. On écrit
p 1
p 2
· · · p j
· · ·
p k
a 1
w 1,1 w 1,2 · · · w 1,j · · ·
w 1,k
a 2
w 2,1 w 2,2 · · · w 2,j · · ·
w 2,k
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a i
w i,1 w i,2 · · · w i,j
· · ·
w i,k
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a q
w q,1 w q,2 · · · w q,j · · ·
w q,k
Les colonnes donnent le type des composantes p-primaires de G. Par exemple
la j ème -colonne donne le type de la composante p j -primaire G(p j ) et on a
w 1,j w 2,j . . . w q,j .
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