VI.4. Structure des groupes abéliens de type fini
D’autre part, on a
H
/H
⎛
⎝
1iq
Ze i
⎞
⎠ /
⎛
⎝
1iq
Za i e i
⎞
⎠
1iq
(Z/a i Z).
On déduit du théorème (VI.4.2) l’unicité des éléments (a i ) 1iq .
La décomposition en somme directe d’un groupe abélien de type fini donnée
par le théorème (VI.4.2) s’appelle la décomposition canonique.
Exercice VI.6. Soit G un groupe abélien fini. Montrer qu’il existe un élément x de
G dont l’ordre est le ppcm des ordres des éléments de G. (On décompose G sous
la forme donnée par le théorème (VI.4.2), on note y la classe de 1 dans Z/a r Z, et
on pose x = (0, . . . , 0, y).)
Définition VI.4.1. Les éléments a i , 1 i q, du théorème (VI.4.1) sont appelés les facteurs invariants de H dans G. Si H = G, on dit que ce sont les
facteurs invariants de G.
Si G est un groupe abélien fini, (par exemple le sous-groupe de torsion d’un
groupe abélien de type fini), notons p
t 1
1 . . . p
t k
k la décomposition en facteurs premiers de |G|. Comme on l’a vu dans la démonstration du théorème (VI.4.2),
chaque facteur invariant a i de G, 1 i q, s’écrit
a i = p
w i ,1
1
. . . p
w i,k
k
avec 0 w i,j t j
et
t j =
1iq
w i,j avec w i,j w i+1,j car a i |a i+1 .
Les facteurs invariants étant uniquement déterminés, il en est de même des
termes p
w i,j
i
.
Définition VI.4.2. Les entiers d i,j = p
w i,j
j , pour 1 i q et 1 j k, sont
appelés les diviseurs élémentaires de G.
Puisque les entiers p j sont premiers, il est clair que les entiers d i,j , pour i fixé
et 1 j k, sont premiers entre eux deux à deux. On en déduit que, pour tout i,
1 i q, on a
Z/a i Z
1jk
Z/d i,j Z.
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