VI.4. Structure des groupes abéliens de type fini
Les lignes permettent de reconstituer les facteurs invariants. Par exemple, la
i ème -ligne permet de reconstituer le facteur invariant a i , par a i =
1jk p
w i,j
j .
Pour obtenir le tableau ci-dessus :
– ou bien on connaît les facteurs invariants, il suffit alors d’écrire la décomposition en facteurs premiers de chacun d’eux ;
– ou bien on connaît le type du groupe, et le nombre de lignes du tableau
est donné par la remarque (VI.4.1). Le fait que chaque facteur invariant a i
contient une puissance (éventuellement nulle) de chaque nombre premier p i
et que a i divise a i+1 donne une détermination unique des w i,j .
Exemples VI.4.1.
a) Soit G un groupe de type (2, 2, 3, 2 3 , 5, 3 2 ). On veut déterminer les facteurs
invariants de G et sa décomposition canonique. Le nombre premier qui apparaît
le plus grand nombre de fois est p 1 = 2 qui apparaît trois fois. Il y a donc trois
facteurs invariants. Ce sont :
a 1 = 2, a 2 = 2 × 3 = 6, a 3 = 2
3
× 3
2
× 5 = 360.
D’où la décomposition canonique
G Z/2Z ⊕ Z/6Z ⊕ Z/360Z.
b) Soit G Z/20Z ⊕ Z/30Z. Puisque 20 ne divise pas 30, cette décomposition
de G n’est pas la décomposition canonique.
Cherchons les diviseurs élémentaires de G. On a
20 = 2
2
× 5 et 30 = 2 × 3 × 5,
et G est de type (2, 3, 2 2 , 5, 5). On en déduit la décomposition de G en somme
directe de ses composantes p-primaires :
G (Z/2Z ⊕ Z/4Z) ⊕ Z/3Z ⊕ (Z/5Z ⊕ Z/5Z).
Les facteurs invariants sont donc 2 × 5 = 10 et 4 × 3 × 5 = 60, et la décomposition
canonique de G est
G Z/10Z ⊕ Z/60Z.
Exercice VI.7. Déterminer le type, les facteurs invariants, les composantes pprimaires du groupe
G = Z/4Z ⊕ Z/6Z ⊕ Z/7Z ⊕ Z/8Z ⊕ Z/18Z.
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