Chapitre VI. Groupes abéliens
Chacune de ces deux sommes est une décomposition de G en la somme directe
d’un groupe libre de rang fini et d’un groupe fini. D’après la proposition (VI.4.1),
cette décomposition est unique ; on en déduit que Z p Z q , i.e. p = q, et que
1ir
Z/a i Z T (G)
1is
Z/b i Z.
D’après le théorème (VI.3.1) ou l’exercice (VI.5.2), si |T (G)| = p
t 1
1 . . . p
t k
k , on a
T (G) =
1ik
G(p i ).
Supposons que l’unicité de la décomposition en somme directe du théorème (VI.4.2) soit vérifiée pour les groupes G(p i ), 1 i k. Montrons que
cela entraîne l’unicité de la décomposition pour le groupe T (G).
On a donc
1ir
Z/a i Z T (G)
1is
Z/b i Z
avec a 1 |a 2 | . . . |a r et b 1 |b 2 | . . . |b s .
Notons x i un générateur de Z/a i Z, 1 i r. Alors l’ordre de x i , o(x i ) = a i ,
divise |T (G)|. Donc,
a i = p
w i ,1
1
. . . p
w i,k
k
avec 0 w i,j t j
et
t j =
1ir
w i,j avec w i,j w i+1,j car a i |a i+1 .
On en déduit donc que pour tout i, 1 i r, on a x i =
1jk x i,j , où
o(x i,j ) = p
w i,j
j . Par conséquent,
T (G) =
1ir
⎛
⎝
1jk
x i,j
⎞
⎠ =
1jk
⎛
⎝
1ir
x i,j
⎞
⎠ .
Comme |
1ir x i,j | = p
w 1,j +...+w r,j
j
= p
t j
j , on a
1ir
x i,j = G(p j )
qui, par hypothèse, a une unique décomposition en somme directe de groupes
cycliques.
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