VI.4. Structure des groupes abéliens de type fini
– un entier q 2,
– des entiers positifs a 2 , . . . , a q , avec a 2 | a 3 | . . . | a q ,
tels que (a 2 e 2 , . . . , a q e q ) soit une base de Ker(f ) ∩ H.
Posons a 1 = a et e 1 = g (i.e. a 1 e 1 = h). On déduit de ce qui précède que
(a 1 e 1 , a 2 e 2 , . . . , a q e q ) est une base de H.
Montrons que a 1 divise a 2 . On considère le morphisme v : G → Z défini par
v(e 1 ) = v(e 2 ) = 1 et v(e i ) = 0 pour i 3. Alors, a = a 1 = v(a 1 e 1 ) = v(h) et,
puisque v(H) = Zβ, on a Za ⊆ Zβ. D’où, par minimalité de a, Zβ = Za = Za 1 .
D’autre part, a 2 = v(a 2 e 2 ) ∈ v(H) = Zβ, donc a 2 ∈ Za 1 , i.e. a 1 divise a 2 .
(ii). Pour démontrer l’unicité des entiers q, a 1 , . . . , a q , nous allons d’abord déduire de (i) un théorème de structure des groupes abéliens de type fini. La démonstration du théorème (VI.4.1.(ii)) sera faite pages 150 et 151.
Théorème VI.4.2 (de structure des groupes abéliens de type fini). Soit G un groupe
abélien de type fini. Il existe un unique entier p et une unique famille (a 1 , . . . , a r )
d’entiers supérieurs ou égaux à 2, avec a i divise a i+1 pour 1 i r − 1, tels que
G Z
p
⊕ Z/a 1 Z ⊕ . . . ⊕ Z/a r Z.
Démonstration. Existence : Soit (x 1 , . . . , x n ) une famille génératrice de G. Il existe
un morphisme surjectif f : Z n → G tel que G Z n /ker(f ). D’après le théorème (VI.4.1), il existe une base (e 1 , . . . , e n ) de Z n , un entier q, 1 q n,
des entiers positifs a 1 , . . . , a q , avec a i divise a i+1 pour 1 i (q − 1), tels que
(a 1 e 1 , . . . , a q e q ) soit une base de Ker(f ). On pose a q+1 = . . . = a n = 0, alors
Z
n /Ker(f )
1in
(Ze i /Za i e i ).
Mais, pour tout i, on a Ze i /Za i e i Z/a i Z et, si a i = 0, Z/a i Z = Z. D’où, en
posant p = (n − q), et en éliminant les a i éventuellement égaux à 1,
G Z
p
⊕ Z/a 1 Z ⊕ . . . ⊕ Z/a r Z.
Unicité : Supposons qu’il existe deux familles de nombres entiers (p, a 1 , . . . , a r )
et (q, b 1 , . . . , b s ) telles que
G Z
p
⊕ Z/a 1 Z ⊕ . . . ⊕ Z/a r Z
et
G Z
q
⊕ Z/b 1 Z ⊕ . . . ⊕ Z/b s Z.
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– un entier q 2,
– des entiers positifs a 2 , . . . , a q , avec a 2 | a 3 | . . . | a q ,
tels que (a 2 e 2 , . . . , a q e q ) soit une base de Ker(f ) ∩ H.
Posons a 1 = a et e 1 = g (i.e. a 1 e 1 = h). On déduit de ce qui précède que
(a 1 e 1 , a 2 e 2 , . . . , a q e q ) est une base de H.
Montrons que a 1 divise a 2 . On considère le morphisme v : G → Z défini par
v(e 1 ) = v(e 2 ) = 1 et v(e i ) = 0 pour i 3. Alors, a = a 1 = v(a 1 e 1 ) = v(h) et,
puisque v(H) = Zβ, on a Za ⊆ Zβ. D’où, par minimalité de a, Zβ = Za = Za 1 .
D’autre part, a 2 = v(a 2 e 2 ) ∈ v(H) = Zβ, donc a 2 ∈ Za 1 , i.e. a 1 divise a 2 .
(ii). Pour démontrer l’unicité des entiers q, a 1 , . . . , a q , nous allons d’abord déduire de (i) un théorème de structure des groupes abéliens de type fini. La démonstration du théorème (VI.4.1.(ii)) sera faite pages 150 et 151.
Théorème VI.4.2 (de structure des groupes abéliens de type fini). Soit G un groupe
abélien de type fini. Il existe un unique entier p et une unique famille (a 1 , . . . , a r )
d’entiers supérieurs ou égaux à 2, avec a i divise a i+1 pour 1 i r − 1, tels que
G Z
p
⊕ Z/a 1 Z ⊕ . . . ⊕ Z/a r Z.
Démonstration. Existence : Soit (x 1 , . . . , x n ) une famille génératrice de G. Il existe
un morphisme surjectif f : Z n → G tel que G Z n /ker(f ). D’après le théorème (VI.4.1), il existe une base (e 1 , . . . , e n ) de Z n , un entier q, 1 q n,
des entiers positifs a 1 , . . . , a q , avec a i divise a i+1 pour 1 i (q − 1), tels que
(a 1 e 1 , . . . , a q e q ) soit une base de Ker(f ). On pose a q+1 = . . . = a n = 0, alors
Z
n /Ker(f )
1in
(Ze i /Za i e i ).
Mais, pour tout i, on a Ze i /Za i e i Z/a i Z et, si a i = 0, Z/a i Z = Z. D’où, en
posant p = (n − q), et en éliminant les a i éventuellement égaux à 1,
G Z
p
⊕ Z/a 1 Z ⊕ . . . ⊕ Z/a r Z.
Unicité : Supposons qu’il existe deux familles de nombres entiers (p, a 1 , . . . , a r )
et (q, b 1 , . . . , b s ) telles que
G Z
p
⊕ Z/a 1 Z ⊕ . . . ⊕ Z/a r Z
et
G Z
q
⊕ Z/b 1 Z ⊕ . . . ⊕ Z/b s Z.
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