VI.4. Structure des groupes abéliens de type fini
Le même raisonnement, en utilisant l’autre décomposition de T (G) et en notant y i un générateur de Z/b i Z, donne
b i = p
w
i,1
1
. . . p
w
i,k
k
avec 0 w
i,j t j
et
t j =
1is
w
i,j et w
i,j w
i+1,j car b i |b i+1
et
T (G) =
1jk
⎛
⎝
1is
y i,j
⎞
⎠
avec
1is
y i,j = G(p j ).
On est donc ramené à démontrer l’unicité de la décomposition en somme
directe de groupes cycliques pour les p-groupes abéliens de type fini, ce qui sera
fait au lemme (VI.4.2) ci-dessous. Mais remarquons tout de suite qu’on déduit de
ce lemme (VI.4.2) que r = s et w i,j = w
i,j pour tout i et j, d’où a i = b i pour
tout i, 1 i r.
Lemme VI.4.2. Soient p un nombre premier et P un p-groupe abélien fini tel que
P
1ir
Z/a i Z
1js
Z/b j Z
avec a 1 |a 2 | . . . |a r et b 1 |b 2 | . . . |b s . Alors, r = s et, pour tout i, 1 i r, a i = b i .
Démonstration. On remarquera qu’on a nécessairement a i = p α i et b j = p β j ,
les relations de divisibilité ci-dessus se traduisant alors par α 1 . . . α r et
β 1 . . . β s , la conclusion se traduit par r = s et α i = β i , pour tout i, 1 i < r.
Écrivons |P | = p t et faisons un raisonnement par récurrence sur t.
Si t = 1, on a r = s = 1 et α 1 = β 1 = 1.
Supposons t > 1 et le résultat vrai pour les p-groupes d’ordre p u pour
u (t − 1). On note H p le p-sous-groupe de P formé des éléments de P qui sont
d’ordre p. Un élément x de H p s’écrit de manière unique
x =
1ir
n i x i , avec x i générateur de Z/p
α i Z, 0 n i < p
α i , 1 i r.
149
Le même raisonnement, en utilisant l’autre décomposition de T (G) et en notant y i un générateur de Z/b i Z, donne
b i = p
w
i,1
1
. . . p
w
i,k
k
avec 0 w
i,j t j
et
t j =
1is
w
i,j et w
i,j w
i+1,j car b i |b i+1
et
T (G) =
1jk
⎛
⎝
1is
y i,j
⎞
⎠
avec
1is
y i,j = G(p j ).
On est donc ramené à démontrer l’unicité de la décomposition en somme
directe de groupes cycliques pour les p-groupes abéliens de type fini, ce qui sera
fait au lemme (VI.4.2) ci-dessous. Mais remarquons tout de suite qu’on déduit de
ce lemme (VI.4.2) que r = s et w i,j = w
i,j pour tout i et j, d’où a i = b i pour
tout i, 1 i r.
Lemme VI.4.2. Soient p un nombre premier et P un p-groupe abélien fini tel que
P
1ir
Z/a i Z
1js
Z/b j Z
avec a 1 |a 2 | . . . |a r et b 1 |b 2 | . . . |b s . Alors, r = s et, pour tout i, 1 i r, a i = b i .
Démonstration. On remarquera qu’on a nécessairement a i = p α i et b j = p β j ,
les relations de divisibilité ci-dessus se traduisant alors par α 1 . . . α r et
β 1 . . . β s , la conclusion se traduit par r = s et α i = β i , pour tout i, 1 i < r.
Écrivons |P | = p t et faisons un raisonnement par récurrence sur t.
Si t = 1, on a r = s = 1 et α 1 = β 1 = 1.
Supposons t > 1 et le résultat vrai pour les p-groupes d’ordre p u pour
u (t − 1). On note H p le p-sous-groupe de P formé des éléments de P qui sont
d’ordre p. Un élément x de H p s’écrit de manière unique
x =
1ir
n i x i , avec x i générateur de Z/p
α i Z, 0 n i < p
α i , 1 i r.
149