Avant-propos
Le fait, remarquable, que ces formules expriment les solutions de l’équation en
fonction de ses coefficients aux moyens des quatre opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication, division) et de l’extraction de racines (carrées,
cubiques) incita les mathématiciens du XVII e et du XVIII e siècles à rechercher
des formules analogues pour les équations de degré supérieur ou égal à 5. Ce n’est
qu’au XIX e siècle que le point final fut mis à cette étude, en montrant l’impossibilité de l’existence générale de telles formules et en caractérisant les équations
pour lesquelles cela était possible (cf. chapitre XVI).
Cette œuvre gigantesque mobilisa les mathématiciens parmi les plus grands
de l’Histoire : Pythagore, Euclide, Diophante, Eratosthène, Al-Khowarizmi, Brahmagupta, Khayyam, Tartaglia, Cardan, Bombelli, Ferrari, Descartes, d’Alembert,
Euler, Vandermonde, Lagrange, Gauss, pour s’achever par les travaux d’Abel et
de Galois.
C’est l’étude des équations algébriques qui est à l’origine de la création et
du développement de l’algèbre, dont le nom provient du titre d’un traité d’AlKhowarizmi. D’abord exclusivement dévolue au calcul, à l’introduction des outils
(nombres négatifs, extraction de racines, nombres complexes) et à l’élaboration
des règles d’utilisation de ces objets, l’algèbre a évolué vers ce qu’elle est maintenant, l’étude des structures. Bien que non explicitement formulées, les structures
de groupe et de corps sont présentes dans les travaux de Galois, dont l’apport le
plus significatif a été de montrer que l’étude de la résolubilité des équations algébriques se ramenait à l’étude d’un groupe associé à chacune des équations. Comme
c’est souvent le cas, l’apport d’idées nouvelles profondes pour étudier un problème
d’envergure irradie l’ensemble des mathématiques. C’est ainsi qu’on retrouve, encore maintenant, cette idée féconde de Galois dans de nombreux domaines, en
algèbre évidemment, mais aussi, par exemple, en géométrie et topologie (théorie
des revêtements) et en analyse (théorie de Galois différentielle).
La notion de corps n’a été formalisée qu’au début du XX e siècle par Dedekind.
Cette notion, dont l’intérêt dépasse largement le cadre des équations algébriques,
permet de donner une présentation conceptuelle et générale de l’étude de ces
dernières. De plus, la notion d’extension de corps et son degré (qui n’est rien
d’autre que la dimension d’un espace vectoriel) a permis, par exemple, de donner,
après plus de vingt-trois siècles d’efforts, une réponse définitive aux problèmes de
la duplication du cube ou de la trisection de l’angle (chapitre XI).
Ceci est l’un des nombreux exemples de la puissance des idées et des méthodes
algébriques et illustre la nécessité de dégager les concepts fondamentaux qui permettent de formaliser, à un niveau convenable de généralité, des problèmes dont
xv
Le fait, remarquable, que ces formules expriment les solutions de l’équation en
fonction de ses coefficients aux moyens des quatre opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication, division) et de l’extraction de racines (carrées,
cubiques) incita les mathématiciens du XVII e et du XVIII e siècles à rechercher
des formules analogues pour les équations de degré supérieur ou égal à 5. Ce n’est
qu’au XIX e siècle que le point final fut mis à cette étude, en montrant l’impossibilité de l’existence générale de telles formules et en caractérisant les équations
pour lesquelles cela était possible (cf. chapitre XVI).
Cette œuvre gigantesque mobilisa les mathématiciens parmi les plus grands
de l’Histoire : Pythagore, Euclide, Diophante, Eratosthène, Al-Khowarizmi, Brahmagupta, Khayyam, Tartaglia, Cardan, Bombelli, Ferrari, Descartes, d’Alembert,
Euler, Vandermonde, Lagrange, Gauss, pour s’achever par les travaux d’Abel et
de Galois.
C’est l’étude des équations algébriques qui est à l’origine de la création et
du développement de l’algèbre, dont le nom provient du titre d’un traité d’AlKhowarizmi. D’abord exclusivement dévolue au calcul, à l’introduction des outils
(nombres négatifs, extraction de racines, nombres complexes) et à l’élaboration
des règles d’utilisation de ces objets, l’algèbre a évolué vers ce qu’elle est maintenant, l’étude des structures. Bien que non explicitement formulées, les structures
de groupe et de corps sont présentes dans les travaux de Galois, dont l’apport le
plus significatif a été de montrer que l’étude de la résolubilité des équations algébriques se ramenait à l’étude d’un groupe associé à chacune des équations. Comme
c’est souvent le cas, l’apport d’idées nouvelles profondes pour étudier un problème
d’envergure irradie l’ensemble des mathématiques. C’est ainsi qu’on retrouve, encore maintenant, cette idée féconde de Galois dans de nombreux domaines, en
algèbre évidemment, mais aussi, par exemple, en géométrie et topologie (théorie
des revêtements) et en analyse (théorie de Galois différentielle).
La notion de corps n’a été formalisée qu’au début du XX e siècle par Dedekind.
Cette notion, dont l’intérêt dépasse largement le cadre des équations algébriques,
permet de donner une présentation conceptuelle et générale de l’étude de ces
dernières. De plus, la notion d’extension de corps et son degré (qui n’est rien
d’autre que la dimension d’un espace vectoriel) a permis, par exemple, de donner,
après plus de vingt-trois siècles d’efforts, une réponse définitive aux problèmes de
la duplication du cube ou de la trisection de l’angle (chapitre XI).
Ceci est l’un des nombreux exemples de la puissance des idées et des méthodes
algébriques et illustre la nécessité de dégager les concepts fondamentaux qui permettent de formaliser, à un niveau convenable de généralité, des problèmes dont
xv