Algèbre T1
L’étude des nombres entiers remonte à la plus haute antiquité, mais c’est
l’étude des nombres algébriques, au XIX e siècle, qui a conduit aux notions
d’anneau et de corps.
L’étude de la divisibilité dans les nombres entiers est basée sur la propriété
fondamentale suivante : tout nombre entier s’écrit, de « manière unique », comme
produit de nombres premiers. Comme pour toutes les structures algébriques importantes, la structure d’anneau apparaît dans de nombreuses situations dans
lesquelles les éléments ne sont plus des nombres entiers. C’est en particulier le cas
des polynômes. Il est donc utile d’étudier le notion de divisibilité dans des anneaux généraux et de voir si l’analogue de la décomposition en produit de nombres
premiers existe : on l’appelle alors « décomposition en produit d’éléments irréductibles ».
L’idée essentielle, pour cela, a été l’introduction de la notion d’idéal : elle
permet de formuler des énoncés qui généralisent ceux des propriétés usuelles de
la divisibilité des nombres entiers. En particulier, la généralisation aux idéaux de
la propriété de « décomposition en produit d’irréductibles », associée à la notion
d’extension de corps, a permis de faire de très grands progrès en arithmétique.
Comme dans le cas des groupes, la structure d’anneau a donné naissance à une
approche algébrique de la géométrie, en particulier des courbes et des surfaces : la
géométrie algébrique. Cette démarche « algébrique » a été également appliquée,
avec beaucoup d’efficacité, en analyse — groupes topologiques, espaces vectoriels
normés, algèbres de Banach.
L’étude de la résolubilité et de la résolution des équations algébriques, c’està-dire des équations du type
a n x
n + a n−1 x
n−1 + · · · + a 1 x + a 0 = 0
a été une épopée, certainement la plus longue de l’histoire des mathématiques,
qui s’est déroulée sur plus de 3500 ans.
Les premières traces écrites de problèmes se ramenant à la résolution d’une
équation du second degré, ax 2 + bx + c = 0, apparaissent sur des tablettes babyloniennes 1700 ans avant notre ère et ces documents montrent que les babyloniens
savaient résoudre ces équations lorsque les racines sont positives (et les coefficients
dans un certain sous-anneau de R). Ce furent ensuite les problèmes géométriques
de duplication du cube et de trisection de l’angle (cf. chapitre XI) qui conduisirent
les mathématiciens grecs à s’intéresser, dès le IV e siècle avant J.-C., aux équations
du troisième degré, mais il fallut attendre l’école mathématique italienne de la renaissance, au XVI e siècle, pour que des formules explicites donnent les solutions
de ces équations et, dans la foulée, celles des équations du quatrième degré.
xiv
L’étude des nombres entiers remonte à la plus haute antiquité, mais c’est
l’étude des nombres algébriques, au XIX e siècle, qui a conduit aux notions
d’anneau et de corps.
L’étude de la divisibilité dans les nombres entiers est basée sur la propriété
fondamentale suivante : tout nombre entier s’écrit, de « manière unique », comme
produit de nombres premiers. Comme pour toutes les structures algébriques importantes, la structure d’anneau apparaît dans de nombreuses situations dans
lesquelles les éléments ne sont plus des nombres entiers. C’est en particulier le cas
des polynômes. Il est donc utile d’étudier le notion de divisibilité dans des anneaux généraux et de voir si l’analogue de la décomposition en produit de nombres
premiers existe : on l’appelle alors « décomposition en produit d’éléments irréductibles ».
L’idée essentielle, pour cela, a été l’introduction de la notion d’idéal : elle
permet de formuler des énoncés qui généralisent ceux des propriétés usuelles de
la divisibilité des nombres entiers. En particulier, la généralisation aux idéaux de
la propriété de « décomposition en produit d’irréductibles », associée à la notion
d’extension de corps, a permis de faire de très grands progrès en arithmétique.
Comme dans le cas des groupes, la structure d’anneau a donné naissance à une
approche algébrique de la géométrie, en particulier des courbes et des surfaces : la
géométrie algébrique. Cette démarche « algébrique » a été également appliquée,
avec beaucoup d’efficacité, en analyse — groupes topologiques, espaces vectoriels
normés, algèbres de Banach.
L’étude de la résolubilité et de la résolution des équations algébriques, c’està-dire des équations du type
a n x
n + a n−1 x
n−1 + · · · + a 1 x + a 0 = 0
a été une épopée, certainement la plus longue de l’histoire des mathématiques,
qui s’est déroulée sur plus de 3500 ans.
Les premières traces écrites de problèmes se ramenant à la résolution d’une
équation du second degré, ax 2 + bx + c = 0, apparaissent sur des tablettes babyloniennes 1700 ans avant notre ère et ces documents montrent que les babyloniens
savaient résoudre ces équations lorsque les racines sont positives (et les coefficients
dans un certain sous-anneau de R). Ce furent ensuite les problèmes géométriques
de duplication du cube et de trisection de l’angle (cf. chapitre XI) qui conduisirent
les mathématiciens grecs à s’intéresser, dès le IV e siècle avant J.-C., aux équations
du troisième degré, mais il fallut attendre l’école mathématique italienne de la renaissance, au XVI e siècle, pour que des formules explicites donnent les solutions
de ces équations et, dans la foulée, celles des équations du quatrième degré.
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