AVANT-PROPOS
La très longue histoire de l’étude des nombres, puis des équations, a permis
de remarquer des analogies entre certaines propriétés vérifiées par des objets mathématiques de natures différentes, par exemple, les nombres et les polynômes.
Cela a conduit les mathématiciens, en particulier au XIX e siècle, à tenter de dégager une axiomatique qui rende compte des raisons profondes de ces analogies.
Il est alors apparu que ces objets, de natures différentes, possédaient les mêmes
« structures » algébriques, par exemple, groupe, espace vectoriel, anneau, etc.
Il devint alors évident qu’il était plus efficace d’étudier ces structures pour
elles-mêmes, indépendamment de leurs réalisations concrètes, puis d’appliquer les
résultats obtenus dans les divers domaines que l’on considérait antérieurement.
L’algèbre « abstraite » était née.
La notion de groupe (chapitres I à VII) est apparue dans l’étude des équations. Elle a notamment permis d’apporter, via la théorie de Galois (chapitre XIV), une réponse définitive à la non résolubilité, par radicaux, des équations
polynomiales de degré supérieur ou égal à cinq (chapitre XVI).
Ensuite, l’introduction des groupes en géométrie a été à l’origine de développements féconds, qui ont complètement modifié l’essence même de cette discipline
ancestrale. Dans un premier temps, ils sont intervenus comme groupes de déplacements dans l’espace euclidien pour affiner l’étude des figures classiques. Plus
tard, d’outils dans l’étude de la géométrie, les groupes en sont devenus le cœur :
une géométrie, euclidienne ou non, est l’étude des notions et propriétés qui restent invariantes par un groupe donné de transformations. La géométrie est donc
devenue une branche de la théorie des groupes.
Enfin, l’existence de groupes a été mise en évidence, non seulement dans la
quasi-totalité des mathématiques, mais également en physique, où cette structure
algébrique joue un rôle très important dans les développements contemporains,
en mécanique, en chimie, en biologie, en linguistique, en psychologie.
La très longue histoire de l’étude des nombres, puis des équations, a permis
de remarquer des analogies entre certaines propriétés vérifiées par des objets mathématiques de natures différentes, par exemple, les nombres et les polynômes.
Cela a conduit les mathématiciens, en particulier au XIX e siècle, à tenter de dégager une axiomatique qui rende compte des raisons profondes de ces analogies.
Il est alors apparu que ces objets, de natures différentes, possédaient les mêmes
« structures » algébriques, par exemple, groupe, espace vectoriel, anneau, etc.
Il devint alors évident qu’il était plus efficace d’étudier ces structures pour
elles-mêmes, indépendamment de leurs réalisations concrètes, puis d’appliquer les
résultats obtenus dans les divers domaines que l’on considérait antérieurement.
L’algèbre « abstraite » était née.
La notion de groupe (chapitres I à VII) est apparue dans l’étude des équations. Elle a notamment permis d’apporter, via la théorie de Galois (chapitre XIV), une réponse définitive à la non résolubilité, par radicaux, des équations
polynomiales de degré supérieur ou égal à cinq (chapitre XVI).
Ensuite, l’introduction des groupes en géométrie a été à l’origine de développements féconds, qui ont complètement modifié l’essence même de cette discipline
ancestrale. Dans un premier temps, ils sont intervenus comme groupes de déplacements dans l’espace euclidien pour affiner l’étude des figures classiques. Plus
tard, d’outils dans l’étude de la géométrie, les groupes en sont devenus le cœur :
une géométrie, euclidienne ou non, est l’étude des notions et propriétés qui restent invariantes par un groupe donné de transformations. La géométrie est donc
devenue une branche de la théorie des groupes.
Enfin, l’existence de groupes a été mise en évidence, non seulement dans la
quasi-totalité des mathématiques, mais également en physique, où cette structure
algébrique joue un rôle très important dans les développements contemporains,
en mécanique, en chimie, en biologie, en linguistique, en psychologie.