Chapitre VI. Groupes abéliens
Supposons le résultat vrai pour les groupes engendrés par r s − 1 éléments.
Si la famille {x 1 , . . . , x s } est libre, c’est une base et le groupe G est libre. Sinon,
considérons une combinaison linéaire nulle liant les générateurs de G,
1is
n i x i = 0.
Les coefficients n i étant dans Z et le groupe G étant sans torsion, on peut supposer
que les n i sont premiers entre eux dans leur ensemble (sinon, on met en facteur
le pgcd des n i et on utilise l’hypothèse que le groupe est sans torsion).
Si l’un des coefficients, par exemple n k , est égal à 1, on a
x k =
1is,i =k
n i x i
et le groupe G est engendré par les s − 1 éléments (x i ) 1is,i =k . Il est donc libre
par hypothèse de récurrence.
Si tous les coefficients n i sont distincts de 1, il existe au moins deux coefficients n j et n k tels que |n j | > |n k | > 0. En faisant la division euclidienne de
n j par n k , on a |n j − qn k | < |n k |. On pose x
k = x k + qx j ; il est clair que
{x 1 , . . . , x j , . . . , x
k , . . . , x s } est une partie génératrice de G. D’autre part, on a
n 1 x 1 + . . . + (n j − qn k )x j + . . . + n k x
k + . . . + n s x s = 0
où les coefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble et |n j − qn k | < |n j |.
Alors, ou bien |n j − qn k | = 1 et on est ramené au cas précédent, ou bien
|n j − qn k | > 1 et on réitère le procédé. Comme ce procédé converge vers le pgcd
des n i , on arrivera, en un nombre fini d’étapes, à ce que l’un des coefficients soit
égal à 1.
Dans tous les cas, on se ramène à une famille génératrice constituée de (s − 1)
éléments au plus et, par hypothèse de récurrence, le groupe G est libre.
Attention. Cette proposition est fausse, en général, pour les groupes non abéliens et pour les groupes abéliens qui ne sont pas de type fini (contre-exemple :
(Q, +)).
VI.4. Structure des groupes abéliens de type fini
Proposition VI.4.1. Tout groupe abélien G de type fini est somme directe d’un
groupe libre de rang fini et d’un groupe fini (qui est son sous-groupe de torsion T (G)).
144
Supposons le résultat vrai pour les groupes engendrés par r s − 1 éléments.
Si la famille {x 1 , . . . , x s } est libre, c’est une base et le groupe G est libre. Sinon,
considérons une combinaison linéaire nulle liant les générateurs de G,
1is
n i x i = 0.
Les coefficients n i étant dans Z et le groupe G étant sans torsion, on peut supposer
que les n i sont premiers entre eux dans leur ensemble (sinon, on met en facteur
le pgcd des n i et on utilise l’hypothèse que le groupe est sans torsion).
Si l’un des coefficients, par exemple n k , est égal à 1, on a
x k =
1is,i =k
n i x i
et le groupe G est engendré par les s − 1 éléments (x i ) 1is,i =k . Il est donc libre
par hypothèse de récurrence.
Si tous les coefficients n i sont distincts de 1, il existe au moins deux coefficients n j et n k tels que |n j | > |n k | > 0. En faisant la division euclidienne de
n j par n k , on a |n j − qn k | < |n k |. On pose x
k = x k + qx j ; il est clair que
{x 1 , . . . , x j , . . . , x
k , . . . , x s } est une partie génératrice de G. D’autre part, on a
n 1 x 1 + . . . + (n j − qn k )x j + . . . + n k x
k + . . . + n s x s = 0
où les coefficients sont premiers entre eux dans leur ensemble et |n j − qn k | < |n j |.
Alors, ou bien |n j − qn k | = 1 et on est ramené au cas précédent, ou bien
|n j − qn k | > 1 et on réitère le procédé. Comme ce procédé converge vers le pgcd
des n i , on arrivera, en un nombre fini d’étapes, à ce que l’un des coefficients soit
égal à 1.
Dans tous les cas, on se ramène à une famille génératrice constituée de (s − 1)
éléments au plus et, par hypothèse de récurrence, le groupe G est libre.
Attention. Cette proposition est fausse, en général, pour les groupes non abéliens et pour les groupes abéliens qui ne sont pas de type fini (contre-exemple :
(Q, +)).
VI.4. Structure des groupes abéliens de type fini
Proposition VI.4.1. Tout groupe abélien G de type fini est somme directe d’un
groupe libre de rang fini et d’un groupe fini (qui est son sous-groupe de torsion T (G)).
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