VI.3. Groupes abéliens de torsion
Il existe {p 1 , . . . , p n } ⊂ (P \ {p 0 }) tel que x = x 1 + . . . + x n , avec x i ∈ G(p i ).
Chaque x i , 1 i n, est d’ordre p
s i
i et, puisque les p i sont premiers et que le
groupe G est abélien, x est d’ordre p
s 1
1 . . . p sn
n . Mais, puisque x ∈ G(p 0 ), il est
aussi d’ordre p
s 0
0 , d’où x = 0. On a donc
G =
p∈P
G(p).
Exercice VI.5.
1. Montrer que si G est un groupe abélien fini et si p est un nombre premier
divisant l’ordre de G, alors G(p) est le p-sous-groupe de Sylow de G.
2. Soit G un groupe abélien fini d’ordre n et soit n = p
r 1
1 . . . p
r k
k la décomposition de n en facteurs premiers. Montrer que G =
1ik G(p i ).
3. En déduire que si G un groupe abélien fini d’ordre n, pour tout diviseur
d de n, le groupe G possède un sous-groupe d’ordre d. (On rappelle que ceci est
faux pour les groupes non abéliens.)
Proposition VI.3.3. Soit G un groupe abélien de type fini. Alors,
(i) G est de torsion si et seulement si G est fini
(ii) G est sans torsion si et seulement si G est libre.
Démonstration. (i). Il est clair que tout groupe fini est de torsion.
Soit G un groupe abélien de type fini de torsion et soit {x 1 , . . . , x n } une famille
génératrice de G. Chaque élément x i , 1 i n, est d’ordre fini p i . Par conséquent,
dans toute écriture d’un élément x quelconque de G, x =
1in n i x i , on peut
supposer que 0 n i p i − 1. On a donc
G =
⎧
⎨
⎩
1in
n i x i
⎫
⎬
⎭
où les n i ne prennent qu’un nombre fini de valeurs, par conséquent le groupe G
est fini.
(ii). Il est clair qu’un groupe abélien libre est sans torsion.
Soit G un groupe abélien de type fini sans torsion et soit {x 1 , . . . , x s } une
famille génératrice de G. On va faire un raisonnement par récurrence sur s.
Si s = 1, G est isomorphe à Z et donc libre de rang 1.
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