Chapitre VI. Groupes abéliens
Démonstration. Si G est un groupe sans torsion alors T (G) = 0, si G est un groupe
de torsion alors T (G) = G ; dans ces deux cas le résultat est trivial.
Supposons que G soit un groupe tel que T (G) soit distinct de G et de {0}.
Soient x et y deux éléments de T (G) ; notons p (resp. q) l’ordre de x (resp. y). On
a pq(x − y) = 0, donc (x − y) ∈ T (G) et T (G) est un sous-groupe de G. Soit x un
élément du groupe G/T (G). S’il existe p ∈ N ∗ tel que px = 0, on a px ∈ T (G),
i.e. il existe q ∈ N ∗ tel que qpx = 0, d’où x ∈ T (G) et x = 0, d’où G/T (G) est un
groupe sans torsion.
Exercice VI.4. Soient G un groupe abélien et H un sous-groupe de G. Montrer
que
a) T (H) = H ∩ T (G).
b) T (G)/T (H) est un sous-groupe de T (G/H).
Proposition - Définition VI.3.2. Soient G un groupe abélien et p un nombre premier.
L’ensemble G(p), formé des éléments de G dont l’ordre est une puissance de p,
est un sous-groupe de G, appelé composante p-primaire de G.
Théorème VI.3.1. Soient G un groupe abélien de torsion et P l’ensemble des
nombres premiers. Alors G est égal à
p∈P G(p).
Démonstration. Soit x un élément d’ordre n de G. On considère n = p
r 1
1 . . . p
r k
k
la décomposition en facteurs premiers de n et on pose n i = n/p
r i
i , 1 i k.
Les nombres entiers n i sont premiers entre eux dans leur ensemble donc,
d’après le théorème de Bezout, il existe des nombres entiers a 1 , . . . , a k tels que
1ik a i n i = 1. On en déduit que
x = 1x = a 1 (n 1 x) + . . . + a k (n k x),
où, pour 1 i k, n i x est d’ordre p
r i
i . Par conséquent,
x ∈
1ik
G(p i ) ⊆
P
G(p),
d’où G ⊆
P G(p). Comme l’inclusion dans l’autre sens est évidente, on a
G =
P
G(p).
Montrons que cette somme est directe. Soit p 0 un élément de P et soit
x ∈ G(p 0 ) ∩
p =p 0 ,p∈P
G(p).
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